洛谷 P2051 [AHOI2009]中国象棋 dp

最新推荐文章于 2025-02-08 20:51:22 发布

Saito Asuka

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分类专栏：动态规划文章标签：洛谷 P2051 [AHOI2009]中国象棋 dp

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本文探讨了一个棋盘炮放置问题，要求炮之间无法相互攻击，使用动态规划方法求解所有放置方法。定义状态dp[i][j][k]表示前i行有j列有一个炮，有k列有两个炮的情况数，通过状态转移方程求解最终答案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接

题意：一个 $n$ 行 $m$ 列的棋盘，上面放置若干个炮(也可以不放)，要求炮之间无法相互攻击(即一行或者一列最多只能存在两个炮)，求所有的放置方法

思路：动态规划，定义 $d p [i] [j] [k]$ 表示前 $i$ 行有 $j$ 列有一个炮，有 $k$ 列有两个炮，由此可以通过第 $i - 1$ 行的dp数组以及排列组合得出状态转移方程

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<string>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
#include<deque>
using namespace std;
#define ll long long
#define PI acos(-1)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define NUM 105
#define debug true
#define lowbit(x) ((-x)&x)
#define ffor(i,d,u) for(int i=(d);i<=(u);++i)
#define _ffor(i,u,d) for(int i=(u);i>=(d);--i)
#define mst(array,Num,Kind,Count) memset(array,Num,sizeof(Kind)*(Count))
const ll mod = 9999973;
template <typename T>
void read(T& x)
{
    x=0;
    char c;T t=1;
    while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');
    if(c=='-'){t=-1;c=getchar();}
    do(x*=10)+=(c-'0');while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
    x*=t;
}
template <typename T>
void write(T x)
{
    int len=0;char c[21];
    if(x<0)putchar('-'),x*=(-1);
    do{++len;c[len]=(x%10)+'0';}while(x/=10);
    _ffor(i,len,1)putchar(c[i]);
}
namespace Solve
{
ll dp[NUM][NUM][NUM] = {};
int n, m;
inline void AC()
{
    read(n), read(m);
    dp[0][0][0] = 1;
    ffor(i, 1, n)
        ffor(j, 0, m)
            ffor(k, 0, m - j)
            {
                (dp[i][j][k] += dp[i - 1][j][k]) %= mod;//第i行不放炮
                if (j > 0)//第i行放一个炮且所放的列上之前没有炮
                    (dp[i][j][k] += ((m - j - k + 1) * dp[i - 1][j - 1][k])) %= mod;
                if (k > 0)//第i行放一个炮且所放的列上之前有一个炮
                    (dp[i][j][k] += ((j + 1) * dp[i - 1][j + 1][k - 1])) %= mod;
                if (j > 1)//第i行放两个炮且所放的两列上之前均没有炮
                    (dp[i][j][k] += (((m - j + 2 - k) * (m - j + 1 - k) >> 1) * dp[i - 1][j - 2][k])) %= mod;
                if (k > 1)//第i行放两个炮且所放的两列上之前均有一个炮
                    (dp[i][j][k] += (((j + 2) * (j + 1) >> 1) * dp[i - 1][j + 2][k - 2])) %= mod;
                if (j > 0 && k > 0)//第i行放两个炮且所放的列上一个没有炮，一个有一个炮
                    (dp[i][j][k] += ((m - j - k + 1) * j * dp[i - 1][j][k - 1])) %= mod;
            }
    ll ans = 0;
    ffor(i, 0, m)
        ffor(j, 0, m - i)
            (ans += dp[n][i][j]) %= mod;
    write(ans);
}
}
int main()
{
    Solve::AC();
    return 0;
}