HDU5795 SG函数（打表然后归纳规律），示例3

最新推荐文章于 2019-07-17 20:17:44 发布

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本文介绍了通过离线打表的方式归纳SG函数值规律的方法，适用于大规模数据情况。文中详细解释了SG函数的计算过程，并提供了C++代码实现示例。此外，还展示了如何根据归纳出的规律解决具体问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

①注意：因为数据规模较大，所以不能在程序中求sg函数值，而是在线下进行打表，归纳sg函数值的取值规律。

②注意：将一个石子数目大于3的石子堆拆分成三个非零堆时，实质上把一个大于等于3的数拆分成3个正整数，输出所有组合。因为是打表不需要过于在意算法的性能，所以逆向思考，枚举所有可能的数，判断是否相加等于原数，即达到“拆分”的效果！

③求sg函数的过程：

sg[0]=0

sg[1]=mex{sg[0]}=1;

sg[2]=mex{sg[0],sg[1]}=2;

sg[3]=mex{sg[0],sg[1],sg[2],sg(1,1,1)}=3;//sg(1,1,1)=sg[1]^sg[1]^sg[1]=1;指一个石子个数为3的石子堆，可以拆分成石子个数为1的三个石子堆，这也相当于可能得到的一个后继局面，所以作为一个sg值，参与mex计算。至于sg(1,1,1)这个局面的sg值如何计算呢，相当于这是一个新的组合游戏，明显拆分成三个各自决策互不干扰的石子堆（各个子游戏的sg值，一定是已知的，所以不用递归再取考虑如果子游戏的石子数目大于3是否要再分解计算的情况），所以用组合子游戏的方式，异或各个子游戏的sg值，得到新的组合游戏即这个可能的新的局面的sg值——sg(1,1,1)。

sg[4]=mex(sg[0],sg[1],sg[2],sg[3],sg(1,1,2))=4;//sg(1,1,2)=sg[1]^sg[1]^sg[2]=2;

sg[5]=mex(sg[0],sg[1],sg[2],sg[3],sg[4],sg(1,1,3),sg(1,2,2);//sg(1,1,3)=sg[1]^sg[1]^sg[3]=3;sg(1,2,2)=sg[1]^sg[2]^sg[2]=1;

......

①打表求sg：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;
int kase;
int n;
const int maxn=1000010;
int s[maxn];
int sg[maxn];
bool visted[maxn];
void Chai(int x){
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=x;i++){
        for(int j=i;j<=x;j++){
            for(int l=j;l<=x;l++){
                if(i+j+l==x){
                    sum=sg[i]^sg[j]^sg[l];
                    visted[sum]=1;
                    sum=0;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    memset(sg,0,sizeof(sg));
    for(int i=1;i<=110;i++){
        memset(visted,0,sizeof(visted));
        for(int j=1;j<=i;j++){
            visted[sg[i-j]]=1;
        }

        if(i>=3){
            Chai(i);//因为只是打表，所以不需要过于考虑速度，因此逆向思考，枚举1~i，进行组合求和判断是否等于i，而不用从i正向拆分。
        }


        for(int j=0;;j++){
            if(!visted[j]){
                sg[i]=j;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<=110;i++){
        cout<<"i:"<<i<<" sg[i]:"<<sg[i]<<endl;
    }
}

部分截图：

②提交部分：

归纳sg函数值规律时，多尝试几组。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;
int kase;
int n;
int number;
long long ans;
int main(){
    scanf("%d",&kase);
    while(kase--){
        scanf("%d",&n);
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&number);
            if(number%8==0){
                number--;
            }
            else if(number%8==7){
                number++;
            }
            ans^=(number);
        }
        if(ans==0){
            cout<<"Second player wins."<<endl;
        }
        else{
            cout<<"First player wins."<<endl;
        }
    }
}