poj 3666 Making the Grade_poj3666 making the grade-优快云博客

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本文探讨了一个在给定约束条件下求解动态规划问题的算法，通过离散化处理和优化转移过程，实现了从O(n^3)到O(n^2)的时间复杂度提升。详细阐述了算法的核心思路、实现细节以及复杂度优化策略，适用于路径选择、资源分配等场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这个题刚看到的时候也是没有什么想法

然后注意到了只有 $2000$ 个位置

然后有了一个 $O(n^3)$ 的做法

(为了简化问题我们只考虑把点填成单调递减的，因为对于递增的，我们把输入反过来再做一遍就好了)

首先我们把给出的路的长度离散化一下，因为对于一个位置，要么不动，要么就填到一个已经有的高度

定义 $dp_{len,pos}$ 为把第 $len$ 个点填到离散化之后的第 $pos$ 高度的时候的最小花费

然后可以从 $dp_{len-1,k}(k\le pos)$ 转移过来

但是这个题的范围是 $2000$ ,我们需要复杂度更优的做法

注意到转移的时候我们取的是一个前缀最小值，那么在转移的同时注意维护一下前缀最小值，就可以做到 $O(n^2)$ 了

具体见代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define LL long long
const LL INFF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;

const int maxn = 2123;

LL dp[maxn][maxn];
LL msp[maxn],val[maxn];
int mlen;

LL nz(LL x){
    return x < 0 ? -x : x;
}

LL cal(int n){
    for(int i=0;i<mlen;i++){
        dp[0][i] = 0;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        LL miner = INFF;
        for(int j=0;j<mlen;j++){
            miner = min(miner,dp[i-1][j]);
            dp[i][j] = miner + nz(val[i]-msp[j]);
        }
    }
    LL ans = INFF;
    for(int i=0;i<mlen;i++){
        ans = min(ans,dp[n][i]);
    }
    return ans;
}

int main(){
    int n;
    while(~scanf("%d",&n)){
        mlen = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%lld",&val[i]);
            msp[mlen++] = val[i];
        }
        sort(msp,msp+mlen);
        mlen = unique(msp,msp+mlen)-msp;
        LL ans = cal(n);
        reverse(val+1,val+1+n);
        ans = min(ans,cal(n));
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}