25、数字信号插值技术：原理、方法与优化

数字信号插值技术：原理、方法与优化

1. 加权平均与归一化卷积

在信号处理中，合适的平均操作需要对每个数据点 (g_n) 进行加权，权重 (w_n) 为方差的倒数，即 (w_n = 1/\sigma_n^2)。此时，均值的估计公式为：
[
\langle g \rangle = \frac{\sum_{n=1}^{N} g_n / \sigma_n^2}{\sum_{n=1}^{N} 1 / \sigma_n^2}
]
均值的标准差为：
[
\sigma_{\langle g \rangle}^2 = \frac{1}{\sum_{n=1}^{N} 1 / \sigma_n^2}
]
将加权平均应用于图像处理，被称为归一化卷积。归一化卷积需要两个信号，一个是待处理的图像 (G)，另一个是包含权重因子的图像 (W)。与上述均值和标准差公式类似，使用掩码 (H) 进行归一化卷积的定义为：
[
G’ = \frac{H * (W \cdot G)}{H * W}
]
归一化卷积本质上是将图像 (G) 和权重图像 (W) 转换为新的图像 (G’) 和新的权重图像 (W’ = H * W)，可进行进一步处理。“标准”卷积可视为归一化卷积的特殊情况，此时所有像素被赋予相同的权重因子，无需使用权重图像。归一化卷积的灵活性在于权重图像的选择，它不仅可用于处理具有空间可变统计误差的像素，还能用于选择和/或放大具有特定特征的像素，成为一种通用的非线性算子。

2. 插值的必要性

数字信号的插值在众多信号处理任务中不可或缺，当操作使输出信号的数字点与输入信号的网格点不再重合时，就需