7、流行匹配：概念、模型与算法解析

流行匹配：概念、模型与算法解析

1. 引言

匹配问题是离散数学的核心内容，其历史可追溯到100多年前。在有偏好的匹配市场中，每个参与者会将偏好表示为有序列表，我们的任务是找到符合这些偏好的最优匹配。若偏好以基数形式表达，常见目标是最大化参与者的总效用，这就产生了最大权重或最小成本匹配的概念；若偏好是序数形式，我们希望保证没有两个参与者会结成联盟偏离给定的解决方案，这对应着稳定匹配的概念。而流行匹配这一概念在偏好最优性和匹配规模之间提供了一个有吸引力的权衡。

2. 流行匹配的定义

流行匹配可在各种市场环境中定义。我们假设给定一个不一定完全且不一定二分的图，其中每个顶点代表一个参与者，每条边代表一个可接受的参与者对。每个参与者会对相邻参与者表达严格的偏好顺序。

比较两个匹配 (M_1) 和 (M_2) 时，每个顶点会为 (M_1) 或 (M_2) 投票或弃权。若顶点 (v) 在 (M_1) 中的匹配对象比在 (M_2) 中更好，或者 (v) 在 (M_1) 中匹配而在 (M_2) 中未匹配，则 (v) 为 (M_1) 投票；反之则为 (M_2) 投票；若 (v) 在两个匹配中的情况相同，则弃权。若 (M_1) 的得票数至少和 (M_2) 一样多，则称 (M_1) 至少和 (M_2) 一样流行；若 (M_1) 的得票数严格多于 (M_2)，则 (M_1) 击败 (M_2)，即 (M_1) 比 (M_2) 更流行。匹配 (M) 是流行的，当且仅当它至少和实例中的任何其他匹配一样流行。

从投票理论的角度看，流行匹配可视为弱孔多塞胜者的集合，也是最大彩票的一个特例。

3. 模型与结构