36、数论、群论与域论基础

数论、群论与域论基础

1. 数论基础

1.1 模运算与群

设 (n) 为正整数，(\mathbb{Z}_n) 是模 (n) 的整数集合，它关于加法构成一个群。(\mathbb{Z}_n) 的元素可以用 (0, 1, 2, \cdots, n - 1) 表示。

定义 (\mathbb{Z}_n^{\times} = {a | 1 \leq a \leq n, \gcd(a, n) = 1})，它关于模 (n) 的乘法构成一个群。对于 (a \in \mathbb{Z}_n^{\times})，(a) 模 (n) 的阶是使得 (a^k \equiv 1 \pmod{n}) 的最小正整数 (k)，且 (a) 模 (n) 的阶整除 (\varphi(n))，其中 (\varphi) 是欧拉函数。

1.2 原根

若 (p) 是素数，(a \in \mathbb{Z}_p^{\times})，则 (a) 模 (p) 的阶整除 (p - 1)。模 (p) 的原根 (g) 是指其模 (p) 的阶等于 (p - 1) 的整数。若 (g) 是模 (p) 的原根，则每个整数模 (p) 同余于 (0) 或 (g) 的某个幂次。例如，(3) 是模 (7) 的原根，因为 ({1, 3, 9, 27, 81, 243} \equiv {1, 3, 2, 6, 4, 5} \pmod{7})。

判断 (g) 是否为模 (p) 的原根，若已知 (p - 1) 的分解式，当 (g^{\frac{p - 1}{q}} \not\equiv 1 \pmod{p}) 对所有整除 (p - 1) 的素数 (q) 都成立时，(g) 就是模 (p) 的原根。寻找模 (p) 的