33、RSA 加密系统：分解方法与安全攻防

RSA 加密系统：分解方法与安全攻防

1. 其他分解方法概述

在整数分解领域，有多种不同的方法，它们各自有其特点和运行时间。通常，分解算法的运行时间依赖于特定的假设和参数，例如二次筛法中因子基的大小选择，这使得对其运行时间的分析往往只能是启发式的。

一般来说，某种分解方法的成功概率和运行时间之间存在权衡。以二次筛法为例，选择较大的因子基 $B$ 会增加找到 $B$ - 平滑值 $\sigma(x)$ 的概率，从而提高成功分解 $n$ 的概率。但另一方面，因子基越大，得到的同余式就越多，求解相应同余方程组所需的时间也就越长。

通过应用某些数论结果并做出一些有用的假设，可以得出二次筛法处理输入 $n$ 的时间复杂度为 $O\left(e^{(1 + o(1))\sqrt{\ln n \ln \ln n}}\right)$，其中 $\ln n$ 表示 $n$ 的自然对数。特别地，利用素数定理可以估计因子基的大小，即 $\vert\vert B \vert\vert = 1 + \pi(B) \approx B / \ln B$，这里 $B$ 是预先指定的界限，$\pi(B)$ 表示小于等于 $B$ 的素数的个数。

以下是一些选定分解算法处理输入 $n$ 的最佳已知运行时间总结：
| 算法 | 运行时间 |
| — | — |
| Pollard 的 $p - 1$ 算法 | $O(B \log B(\log n)^2 + (\log n)^3)$ |
| 二次筛法 | $O\left(e^{(1 + o(1))\sqrt{\ln n \ln \ln n}}\right)$ |
| 数域筛法 | $O\left(e^{