23、计算复杂性理论中的层次结构与问题研究

计算复杂性理论中的层次结构与问题研究

1. 理论基础与集合性质

在计算复杂性理论里，存在着诸多重要的集合和层次结构。通过应用相关引理，能得出存在一个可判定集合 $X$，它既不在 $High_n$ 类，也不在 $Low_n$ 类中。而且，由于空集 $\varnothing$ 属于 $P$ 类，$SAT$ 问题是非平凡的，集合 $X$ 能多项式时间多一归约到 $SAT$，所以 $X$ 属于 $NP$ 类。

2. 复杂度类的包含关系与证明

复杂度类之间存在着各种包含关系，以下是一些需要证明的关系：
- NP 相关包含关系 ：
- 证明 $NP \cap coNP \subseteq NP \subseteq NP \cup coNP \subseteq (NP \land coNP) \cup (NP \lor coNP)$。若能证明其中某个包含关系为等式，那就意味着布尔层次结构和多项式层次结构的坍塌，这可是非常重大的成果。
- 证明 $NP \land coNP = co(NP \lor coNP)$。
- 证明若 $P = NP$，则 $P = coNP = NP \cap coNP = NP \land coNP = NP \lor coNP$。
- 其他类的性质 ：
- 证明 $NP$ 是一个集合环，即对并集和交集运算封闭。
- 证明 $P$ 和 $PSPACE$ 是布尔代数，对交集、并集和补集运算封闭，并确定 $BC(P)$ 和 $BC(PSPACE)$ 的情况。

3. 布尔层次结构相关问题