21、布尔层次结构、多项式层次结构与交替图灵机

布尔层次结构、多项式层次结构与交替图灵机

1. 布尔层次结构与多项式层次结构的联系

布尔层次结构和多项式层次结构之间存在着紧密的联系。为了更形象地说明这种联系，这里有一个有趣的故事。

有两个小女孩宝拉（Paula）和埃拉（Ella），她们住在多项式层次结构塔（PHT）的二楼。这座塔是她们城市天际线中最高的建筑之一，甚至比布尔层次结构塔（BHT）还要高、还要宏伟。实际上，整个布尔层次结构塔都能容纳进多项式层次结构塔的前两层。我们可以把布尔层次结构塔想象成一个玩具模型，放在宝拉和埃拉的房间里供她们玩耍。为了让可能无限多层的布尔层次结构塔方便地放进房间，假设这个玩具模型的每一层高度都是上一层的一半。

有一天，宝拉和埃拉心情很暴躁，她们故意用锤子破坏布尔层次结构塔的玩具模型，把它的第五层完全毁坏，导致这一层坍塌到了第四层。根据相关定理，她们知道整个布尔层次结构塔会坍塌到第四层，果然如此，她们开心得大笑起来。

然而，她们并不知道另一个定理。就在布尔层次结构塔坍塌后，她们先是听到远处传来空洞的隆隆声，接着看到房间的墙壁和天花板出现了一些小裂缝，整座建筑像地震一样摇晃起来，随后伴随着一声巨响轰然倒塌。吓坏了的孩子们咳嗽着、哭着，穿过灰尘匆匆跑下楼，跑到了外面。这时她们才意识到，由于她们轻率地破坏了布尔层次结构塔的玩具模型，整个多项式层次结构塔都坍塌到了第三层，第二层的部分区域也受到了损坏。幸运的是，由于此时多项式层次结构塔的第三层及以上楼层都是无人办公的办公室，所以没有人受伤。宝拉和埃拉的父母从受损的塔中走了出来，在向警方和保险公司报告了她们的所作所为并受到适当的惩罚后，宝拉和埃拉认真地听父母解释了相关定理。

1.1 相关定理

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