17、密码学与复杂度理论中的布尔层次结构

密码学与复杂度理论中的布尔层次结构

密码学基础概述

密码学的历史源远流长，可追溯到人类文明的古老根源。例如，盖乌斯·尤利乌斯·恺撒在其著作《高卢战记》中记载，他曾向被围困的 Q. 图利乌斯·西塞罗发送加密消息，采用的是单字母替换法，用希腊字母替代拉丁字母，但不确定是否使用了密钥 k = 3 的移位密码，这一信息后来由苏埃托尼乌斯给出。

维吉尼亚密码基于意大利数学家莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂、德国修道院院长约翰内斯·特里特米乌斯和意大利科学家乔瓦尼·波尔塔的早期工作。卡西斯基破解维吉尼亚密码的成就也归功于英国天才查尔斯·巴贝奇大约在 1854 年的未发表工作。

在实际应用中，使用不常用语言进行加密往往能提高安全性。二战期间，美国海军使用纳瓦霍族语言传递重要信息，“纳瓦霍密码”从未被日本密码破译者破解。

信息论中使用熵作为信息度量的开创性思想源于香农，他还证明了刻画密码系统完美保密性的定理。自然语言具有冗余性，英语的平均信息含量约为每个字母 1.25 比特，冗余度约为 0.75。冗余性并非多余，它使我们在传输错误时仍能理解信息。

常见的对称加密系统如数据加密标准（DES），由 IBM 开发并于 1977 年被采用为标准，但由于密钥长度仅 56 比特，在 1999 年被穷举密钥搜索破解。其继任者三重 DES 密钥长度为 112 比特，更安全。高级加密标准（AES）已被美国国家标准与技术研究院（NIST）采用为当前加密标准。

基于 NP 的复杂度层次结构

复杂度理论引入了基于 NP 的重要复杂度层次结构，如布尔层次结构和多项式层次结构。布尔层次结构中的问题示例包括 NP 完全优化问题的“精确”变体和关键图问