11、计算复杂性理论中的NP问题深入剖析

计算复杂性理论中的NP问题深入剖析

1. P与NP问题

P是否等于NP是一个著名且尚未解决的问题，困扰着复杂性理论研究者。大多数复杂性理论家认为P不等于NP。如果P等于NP，计算复杂性世界虽会多一个重要见解，但会失去很多丰富结构，比如基于NP的复杂性类层次结构会崩塌到P。

P与NP问题在密码学中也至关重要。若P等于NP，当前多数密码系统将无用，因为它们的安全性基于某些问题（如因式分解问题）难以解决的假设。因式分解问题是求给定整数的质因数分解，虽可在非确定性多项式时间内完成，但尚无高效确定性算法。不过，存在高效因式分解算法并不明显意味着P等于NP，这使因式分解问题与NP完全问题有所不同。

根据引理3.36，P等于NP当且仅当任何一个NP完全问题属于P。若P不等于NP，则没有NP完全问题属于P。那么，假设P不等于NP，是否存在既不属于P也不是NP完全的NP问题呢？Ladner证明答案是肯定的。

定理3.68（Ladner）：P不等于NP当且仅当存在既不属于P也不是NP完全的NP集合。

通过该定理，若P不等于NP，存在既不属于P也不是NP完全的NP问题，但证明中构造的问题并非自然问题。素性问题曾被认为是这样的自然问题候选，但Agrawal、Kayal和Saxena证明该问题实际上属于P。另一个候选是图同构问题。

事实3.69：图同构问题（GI）属于NP。第6章将提供证据表明GI似乎不是NP完全问题，但它与NP完全集有很多共同属性，比如它是自可归约的。

2. 自可归约性

直观地说，如果存在一个解决集合A的高效算法，该算法将集合A本身用作神谕，那么集合A是自可归约的。为避免平凡情况，自归