8、复杂性理论中的空间复杂度类与归约性

复杂性理论中的空间复杂度类与归约性

在复杂性理论中，对数空间和多项式空间之间的复杂度类关系是一个重要的研究领域。下面我们将深入探讨这些复杂度类的包含关系、相关定理及其证明，以及复杂度有界归约性的概念。

1. 对数与多项式空间之间的复杂度类包含关系

首先，有一个重要的定理描述了对数空间和多项式空间之间的复杂度类包含关系。

定理 ：$L \subseteq NL \subseteq P \subseteq NP \subseteq PSPACE$

下面我们对这个定理中的各个包含关系进行详细证明。

1.1 $L \subseteq NL$ 和 $P \subseteq NP$

这两个包含关系很容易理解，因为根据定义，每个确定性图灵机（DTM）都是一种特殊的非确定性图灵机（NTM），所以自然有 $L \subseteq NL$ 和 $P \subseteq NP$。

1.2 $NP \subseteq PSPACE$

为了证明 $NP \subseteq PSPACE$，设 $M$ 是一个在时间 $p(n)$ 内运行的非确定性图灵机（$p \in IPol$）。我们要构造一个确定性图灵机 $N$，使其在多项式空间内判定 $L(M)$。这里利用了空间资源的一个重要性质：与时间资源不同，空间是可重用的。

具体构造 $N$ 的步骤如下：
1. 初始化工作带 ：$N$ 除了输入带外，有一个工作带，该工作带被划分为三个轨道。$N$ 首先在工作带上标记出 $p(n)$ 个单元格。