4、代数、数论与图论基础

代数、数论与图论基础

1. 逻辑基础

谓词逻辑是对命题逻辑的扩展。当要求所有谓词符号的元数为零时，就可以从谓词逻辑得到命题逻辑。此时，项、变量和量词的概念变得多余，元数为零的谓词符号就起到了命题逻辑中原子公式的作用。实际上，只需从谓词逻辑中排除变量（以及量词），就可以将其退化为命题逻辑（无 量词）。

需要注意的是，命题逻辑中使用的布尔变量和常量与谓词逻辑中的变量和常量是不同的。前者简单地解释为真值，而后者解释为给定结构中宇宙的对象（或个体）。

谓词逻辑虽然比命题逻辑有更强的表达能力，但仍然不能表达所有想要表达的内容。这里介绍的谓词逻辑类型称为一阶逻辑，在一阶逻辑中，只允许对变量进行量化。如果允许对谓词和函数符号进行量化，一阶谓词逻辑的表达能力可以进一步提升为二阶谓词逻辑。

2. 代数与数论基础

2.1 基本代数结构

• 群（Group） ：群 (G = (S, ◦)) 由非空集合 (S) 和 (S) 上的二元运算 (◦) 定义，需满足以下公理：
  • 封闭性：((∀x ∈S) (∀y ∈S) [x ◦y ∈S])
  • 结合律：((∀x ∈S) (∀y ∈S) (∀z ∈S) [(x ◦y) ◦z = x ◦(y ◦z)])
  • 单位元：((∃e ∈S) (∀x ∈S) [e ◦x = x ◦e = x])
  • 逆元：((∀x ∈S) (∃x^{-1} ∈S) [x ◦x^{-1} = x^{-1} ◦x = e])
    元素 (e) 称为群 (G) 的单位元，元素