12、近似推理与独立成分分析：原理、方法及应用

近似推理与独立成分分析：原理、方法及应用

在许多实际的源分离系统中，精确推理往往难以实现，因此需要采用近似推理方法。本文将详细介绍近似推理中的采样方法，包括马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）及其相关算法，同时探讨独立成分分析（ICA）在语音识别等领域的应用。

1. 采样方法基础

对于大多数潜在变量模型，精确推理是难以处理的，因此需要进行近似。常见的近似推理方法有基于变分贝叶斯（VB）的确定性近似和马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）的随机近似。

1.1 基本采样与期望近似

采样方法的基本思想是从概率分布 $p(Z)$ 中独立抽取一组样本 ${Z(l), l = 1, …, L}$，用样本均值来近似积分。对于连续变量，期望 $E_Z[f(Z)]$ 可表示为：
[E_Z[f(Z)] = \int f(Z)p(Z)dZ]
用样本均值近似为：
[\hat{f} = \frac{1}{L} \sum_{l = 1}^{L} f(Z(l))]
一般来说，10 到 20 个独立样本可能足以估计一个期望，但实际中样本可能并非独立抽取，有效样本大小可能远小于表观样本大小 $L$，因此需要较大的样本量来达到足够的精度。

1.2 重要性采样

当直接从分布 $p(Z)$ 采样困难时，可以使用重要性采样。它基于一个提议分布 $q(Z)$，从 $q(Z)$ 中容易抽取样本。期望 $E_Z[f(Z)]$ 可表示为：
[E_Z[f(Z)] = \int \frac{f(Z)p(Z)}{q(Z)} q(Z)dZ \approx \frac{1}{L} \sum_{l = 1}^{L} \frac{p(Z(l