30、向量空间、格及其相关性质的深入解析

向量空间、格及其相关性质的深入解析

1. 子集和问题与格

考虑如下矩阵：
[
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & m_1 \
0 & 2 & 0 & \cdots & 0 & m_2 \
0 & 0 & 2 & \cdots & 0 & m_3 \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & m_n \
1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & S
\end{pmatrix}
]
其行向量分别标记为：
- (v_1 = (2, 0, 0, \cdots, 0, m_1))
- (v_2 = (0, 2, 0, \cdots, 0, m_2))
- (\cdots)
- (v_n = (0, 0, 0, \cdots, 2, m_n))
- (v_{n + 1} = (1, 1, 1, \cdots, 1, S))

设 (L) 是这些向量的所有整数线性组合构成的集合，即 (L = {a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_nv_n + a_{n + 1}v_{n + 1} : a_1, a_2, \cdots, a_{n + 1} \