18、组合数学、概率与信息论在密码学中的应用

组合数学、概率与信息论在密码学中的应用

在密码学领域，评估一个加密系统的实用性和安全性时，需要衡量其对各种攻击的抵抗能力。这些攻击包括简单的暴力搜索、通过碰撞或中间相遇算法进行的更快搜索，以及用于计算离散对数、分解整数和在格中寻找短向量的更复杂方法。对这些算法的分析通常需要组合数学、概率论和信息论的工具。

1. 基本计数原则

计数原则是密码学中概率计算的基础。下面通过几个例子来介绍基本计数原则。
- 例子1 ：有一个古老的谜题，“当我去圣艾夫斯时，我遇到一个有七个妻子的男人，每个妻子有七个袋子，每个袋子有七只猫，每只猫有七只小猫。小猫、猫、袋子和妻子，有多少人去圣艾夫斯？”答案是只有叙述者一人去圣艾夫斯，其他人都从圣艾夫斯离开。但如果我们换个角度，问叙述者遇到的人和物的总数，答案是$2801 = 1$（男人）$ + 7$（妻子）$ + 7^2$（袋子）$ + 7^3$（猫）$ + 7^4$（小猫）。
- 例子2 ：两个学生（爱丽丝和鲍勃）要从20门不同的课程中选课，选课的可能性总数为$2$（人）$\times20$（课程）$ = 40$种。这体现了基本计数原则：如果进行两个实验，一个有$n$种可能结果，另一个有$m$种可能结果，那么进行这两个实验的可能结果总数为$nm$。更一般地，如果进行$k$个独立实验，第$i$个实验有$n_i$种可能结果，那么所有实验的结果总数为$n_1n_2 \cdots n_k$。
- 例子3 ：爱丽丝、鲍勃和卡尔三人要选择午餐时间（11:00 am和1:00 pm）和食堂（校园里有五个食堂），选择方式总数为$3$（人）$\time