14、整数分解算法：Pollard‘s p - 1与平方差分解法

整数分解算法：Pollard’s p - 1与平方差分解法

1. 引言

在密码学领域，尤其是RSA加密系统中，大整数的分解问题至关重要。一方面，RSA系统的运行需要大素数；另一方面，其安全性依赖于分解大整数的困难性。接下来，我们将详细介绍两种重要的整数分解算法：Pollard’s p - 1分解算法和平方差分解法。

2. Pollard’s p - 1分解算法

2.1 算法原理

假设我们要分解的数为 (N = pq)，目标是找出素因子 (p) 和 (q)。若能找到一个整数 (L)，使得 (p - 1) 能整除 (L)，而 (q - 1) 不能整除 (L)，即存在整数 (i)、(j) 和非零整数 (k) 满足 (L = i(p - 1)) 和 (L = j(q - 1) + k)。

取一个随机整数 (a) 并计算 (a^L)，根据费马小定理：
- (a^L = a^{i(p - 1)} = (a^{p - 1})^i \equiv 1^i \equiv 1 \pmod{p})
- (a^L = a^{j(q - 1) + k} = a^k(a^{q - 1})^j \equiv a^k \cdot 1^j \equiv a^k \pmod{q})

由于 (k \neq 0)，(a^k) 模 (q) 同余于 1 的概率很小。所以，大概率有 (p) 整除 (a^L - 1)，而 (q) 不整除 (a^L - 1)。这样，我们就可以通过计算 (\gcd(a^L - 1, N)) 来得到 (p)。

Pollard 观察到，如果 (p - 1) 是许多小素数的乘积，那么它会整除某个不太