1、现代公钥密码学：数学原理与应用

现代公钥密码学：数学原理与应用

1. 密码学的发展与公钥密码学的诞生

在数字时代，通信和商业的安全依赖于古老密码艺术的现代形式。数千年来，传统的密码系统依赖于通信双方（如 Bob 和 Alice）共享一个秘密密钥，而他们的对手（如 Eve）没有这个密钥。Bob 使用密钥加密消息，Alice 使用相同的密钥解密消息，Eve 由于不知道密钥而无法解密。然而，这种私钥密码系统的缺点是 Bob 和 Alice 在通信前需要交换密钥。

直到 20 世纪 70 年代，公钥密码学的概念出现，彻底改变了密码学的格局。在公钥密码系统中，Alice 拥有一个公钥 KPub 和一个私钥 KPri。她公布公钥，其他人（如 Adam、Bob、Carl 等）可以使用公钥加密消息并发送给她。公钥密码学的核心思想是，虽然全世界都知道公钥并可以用它加密消息，但只有知道私钥的 Alice 能够解密。

公钥密码系统的优势众多。例如，即使 Bob 和 Alice 从未直接接触过，Bob 也可以向 Alice 发送加密消息。公钥密码学基于一些难以解决的数学问题，即那些事先难以求解，但如果知道额外信息就会变得容易解决的问题。

2. 公钥密码学的数学基础

现代数学密码学涉及多个数学领域，包括数论、抽象代数（群、环、域）、概率、统计和信息论。不过，学习公钥密码学的先决条件相对较少，只需要具备高中代数基础，在某些章节可能需要一些解析几何和线性代数知识。

以下是一些在公钥密码学中常用的数学主题：
| 数学主题 | 相关内容 |
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| 同余、素数和有限域 | 涉及整除性、最大公约数、模运算、素数、唯一分解和有限域等概念 |