hdu5227 Tom and game(BestCoder Round #40)

Tom and game

 

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问题描述

Tom喜欢和Tony玩游戏。
他们认为一个有序四元组(t,i,j,k)是合法的，当且仅当满足：
1、1≤i,j,k≤t
2、存在一个不小于k的正整数s，满足s既是i的约数，又是j的约数。
他们准备好一些四元组，两人轮流进行操作，不能操作的人就输了，一次合法操作的步骤是：
1、选择一个四元组A。
2、将A变成一个字典序比它小的合法四元组B。
比较两个四元组大小时，先比较第一个元素的大小，若相等，再比较第二个元素的大小，依此类推。
他们认为每次都重新准备四元组太麻烦了，所以他们画了一个树，树的每个点上都有一个四元组。每次游戏时，每个人都随机选择一个点，在树上画出连接这两个点的路径，将路径中所有点（包括这两个点）上的四元组抄下来进行游戏。
Tom每次都要做先手，他想知道他获胜的概率。

输入描述

输入包含多组数据（大约8组）。对于每组数据，第一行一个正整数n，表示树上有n个结点，从1开始编号。接下来n-1行，每行两个正整数i、j，表示i、j之间有一条边。接下来n行，第i行有四个正整数a、b、c、d，表示编号为i的点上的四元组是(a,b,c,d)。
1≤n≤10000;1≤i,j≤n;1≤a,b,c,d≤10000
保证每个结点上的四元组都是合法的。

输出描述

对于每组数据，输出一行一个分数"a/b"，表示获胜概率，要求a、b互质。若必败，要输出"0/1"。

输入样例

2
1 2
1 1 1 1
2 1 2 1
5
1 2
2 3
3 4
4 5
1 1 1 1
2 1 1 1
2 1 2 1
2 2 1 1
1 1 1 1

输出样例

3/4
3/5

Problem D
概率就是(必胜的点对数/总点对数)，总点对数是n2，我们需要考虑如何求必胜点对数。
这个游戏就像是Nim游戏，一个四元组就相当于一堆石头，石头的数量就是字典序比它小的合法四元组的个数，同时也是这个四元组的SG值。
考虑如何求字典序比(a,b,c,d)小的合法四元组(p,q,s,t)的数量：
1、p<a。可以预处理。所有第一个元素为n的合法四元组数量是
∑ni=1∑nj=1gcd(i,j)
预处理前缀和就行了。
2、p=a,q<b。满足这个条件的合法四元组数量是
∑b−1i=1∑aj=1gcd(i,j)
3、p=a,q=b,s<c。满足这个条件的合法四元组数量是
∑c−1i=1gcd(i,b)
4、p=a,q=b,s=c,t<d。满足这个条件的合法四元组数量是(d-1)。
上面的一些式子可以这样计算：
∑ni=1∑mj=1gcd(i,j)=∑ni=1∑mj=1∑d|i&d|jϕ(d)=∑min(n,m)d=1ϕ(d)⋅nd⋅md
（除法为整除）
nd、md只会有O(n√)种不同的值，相同的值需要一起计算，所以要预处理ϕ(d)及其前缀和。这样，一次计算的时间复杂度是O(n√)的。
∑ni=1gcd(i,m)=∑ni=1∑d|i&d|mϕ(d)=∑d|mϕ(d)⋅nd
（除法为整除）
m的约数不会太多，所以可以直接枚举d进行计算。为了快速找出m的约数，可以对m分解质因数。可以先预处理出10000以内所有数分解质因数的结果，为便于存储，可以只记录它的一个质因子，m除一下这个质因子，递归下去就能得到它的所有质因子。
这样，就能求出每个四元组的SG值了。
先手必胜当且仅当所有四元组SG值的异或和不为零。那么问题就变成了求树上有多少对点，满足连接它们的路径上所有点的SG值异或和不为零。可以通过点分治求解。
设m=max(a,b,c,d)，那么
时间复杂度：O（n⋅log2n+(n+m)m−−√）