FWT简介(洛谷P4717)

快速沃尔什-哈达玛变换(FWT)主要用于解决位运算下的卷积问题,如XOR、OR、AND等。FWT过程包括离散沃尔什-哈达玛变换(DWT)和逆变换(IDWT)。DWT通过特定的变换公式将位运算转化为直接相乘,IDWT则用于恢复原始数据。FWT在解决特定类型的计算问题时表现出高效性。

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用途

Fast Walsh-Hadamard Transform,即FWT,用来解决形如 ci=jk=iajbk c i = ∑ j ⊕ k = i a j b k 一类的卷积,其中 表示位运算( xor/or/and xor/or/and )。

过程

类比FFT,我们可以构造出一个变换使得 ai a i bj b j 可以直接相乘,再变换回来求得答案。同样的,FWT也分DWT和IDWT两步。

DWT

DWT(a)i D W T ( a ) i 表示 a a 经过DWT之后的变换。那么我们可以得到

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