BZOJ1911[Apio2010]特别行动队（洛谷P3628）_bzoj 1911 特别行动队洛谷-优快云博客

本文详细介绍了斜率优化动态规划（DP）的方法，并通过具体的数学推导展示了如何使用该技巧来优化DP的状态转移方程。文章还提供了一段完整的C++代码实现，帮助读者更好地理解和应用这一高效算法。

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斜率优化DP

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令 $S[i]=\sum_{j=1}^{i}x[i]$
易得出转移方程 $f[i]=max(f[j]+a(S[i]-S[j])^2+b(S[i]-S[j])+c)$

考虑斜率优化
设 $x<y$ 且x优于y

$f[x]+a(S[i]-S[x])^2+b(S[i]-S[x])+c>f[y]+a(S[i]-S[y])^2+b(S[i]-S[y])+c$

$f[x]+a(S[i]^2-2S[i]S[x]+S[x]^2)+bS[i]-bS[x]>f[y]+a(S[i]^2-2S[i]S[y]+S[y]^2)+bS[i]-bS[y]$

$f[x]-2aS[i]S[x]+aS[x]^2-bS[x]>f[y]-2aS[i]S[y]+aS[y]^2-bS[y]$

$f[x]-f[y]+aS[x]^2-bS[x]-aS[y]^2+bS[y]>2aS[i](S[x]-S[y])$

$\frac{f[x]-f[y]+a(S[x]^2-S[y]^2)-b(S[x]-S[y])}{2a(S[x]-S[y])}>S[i]$

然后就好了

代码：

#include<cctype>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 1000000
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,r,w,que[MAXN+5];
LL f[MAXN+5],a,b,c,s[MAXN+5];
inline char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF; return *l++;
}
inline LL _read(){
    LL num=0,flag=1; char ch=readc();
    while (!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=readc();
    if (ch=='-') flag=-1,ch=readc();
    while (isdigit(ch)) { num=num*10+ch-48; ch=readc(); }
    return num*flag;
}
#define sqr(x) ((x)*(x))
inline LL K(int x,int y){
    return (f[x]-f[y]+a*(sqr(s[x])-sqr(s[y]))-b*(s[x]-s[y]))/(2*a*(s[x]-s[y]));
}
int main(){
    n=_read();
    a=_read(),b=_read(),c=_read();
    for (int i=1;i<=n;i++)
        s[i]=_read(),s[i]+=s[i-1],f[i]=1e18;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        while (r<w&&K(que[r],que[r+1])<s[i]) r++;
        f[i]=f[que[r]]+a*sqr(s[i]-s[que[r]])+b*(s[i]-s[que[r]])+c;
        while (r<w&&K(que[w-1],que[w])>=K(que[w],i)) w--;
        que[++w]=i;
    }
    return printf("%lld\n",f[n]),0;
}