洛谷P2024 食物链 (POJ 1182)

本文介绍了一道经典的并查集题目,通过构建三个集合来解决食物链问题。详细解释了如何利用并查集的数据结构进行集合的合并,并提供了完整的C++代码实现。

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并查集

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一道非常经典的并查集题目。分三个集合,x+n为x所吃的集合,x+2n为吃x的集合。然后不断合并即可。

合并的时候三个集合都要合并。

代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 50000
using namespace std;
int n,k;
int fa[MAXN*3+5];
char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF;
    return *l++;
}
inline int _read(){
    char ch=readc(); int num=0;
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=readc();
    while (ch>='0'&&ch<='9') { num=num*10+ch-48; ch=readc(); }
    return num;
}
int findfather(int x){
    if (fa[x]==x) return fa[x];
    return fa[x]=findfather(fa[x]);
}
bool judge1(int x,int y){
    if (findfather(x+n)==findfather(y)||findfather(x+2*n)==findfather(y)) return false;
    return true;
}
bool judge2(int x,int y){
    if (findfather(x)==findfather(y)||findfather(x+2*n)==findfather(y)) return false;
    return true;
}
void mix(int x,int y){
    fa[findfather(x)]=findfather(y);
}
int main(){
    n=_read(); k=_read();
    for (int i=1;i<=3*n;i++) fa[i]=i;
    int ans=0;
    while (k--){
        int flag=_read(),x=_read(),y=_read();
        if (x>n||y>n){ ans++; continue; }
        if (flag==1)
            if (judge1(x,y)){
                mix(x,y);
                mix(x+n,y+n);
                mix(x+2*n,y+2*n);
            }
            else ans++;
        if (flag==2){
            if (x==y){ ans++; continue; }
            if (judge2(x,y)){
                mix(x+n,y);
                mix(x+2*n,y+n);
                mix(x,y+2*n);
            }
            else ans++;
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
### 并查集算法的时间复杂度分析 并查集是一种高效的用于处理集合合并与查询的算法。在POJ 1182 食物链问题中,使用了并查集来判断动物之间的关系,并且通过路径压缩和按秩合并等优化手段,可以极大地提高算法的效率。 #### 路径压缩的影响 路径压缩是并查集中一种重要的优化技术,它能够将查找过程中经过的所有节点直接连接到根节点上。这种操作使得后续查找的时间复杂度接近于常数[^1]。具体来说,路径压缩后的查找操作时间复杂度可以用阿克曼函数的反函数 \( \alpha(n) \) 来表示,其中 \( n \) 是集合中的元素个数。阿克曼函数的增长速度极慢,因此 \( \alpha(n) \) 在实际应用中几乎可以视为常数。 ```python def Find(x): if x != par[x]: par[x] = Find(par[x]) # 路径压缩 return par[x] ``` #### 按秩合并的作用 按秩合并是一种优化策略,它通过将较小的树合并到较大的树上来减少树的高度。这种方法结合路径压缩后,可以进一步降低操作的时间复杂度[^2]。在实际实现中,可以通过维护一个数组 `rank` 来记录每个集合的深度,并在合并时选择深度较小的树挂接到深度较大的树上。 ```python def Union(x, y): rootX = Find(x) rootY = Find(y) if rootX != rootY: if rank[rootX] > rank[rootY]: par[rootY] = rootX elif rank[rootX] < rank[rootY]: par[rootX] = rootY else: par[rootY] = rootX rank[rootX] += 1 ``` #### 时间复杂度总结 对于 POJ 1182 食物链问题,假设总共有 \( n \) 个动物和 \( m \) 条关系,则初始化并查集的时间复杂度为 \( O(n) \),每次查找或合并操作的时间复杂度为 \( O(\alpha(n)) \)[^2]。由于 \( \alpha(n) \) 的增长极其缓慢,在实际情况下可以认为其为常数。因此,整个算法的时间复杂度主要由关系数量 \( m \) 决定,最终的时间复杂度为 \( O(m \cdot \alpha(n)) \)[^1]。 ### 代码示例 以下是一个完整的并查集实现,适用于 POJ 1182 食物链问题: ```python class UnionFind: def __init__(self, n): self.par = list(range(3 * n)) self.rank = [0] * (3 * n) def Find(self, x): if self.par[x] != x: self.par[x] = self.Find(self.par[x]) return self.par[x] def Union(self, x, y): rootX = self.Find(x) rootY = self.Find(y) if rootX != rootY: if self.rank[rootX] > self.rank[rootY]: self.par[rootY] = rootX elif self.rank[rootX] < self.rank[rootY]: self.par[rootX] = rootY else: self.par[rootY] = rootX self.rank[rootX] += 1 def Same(self, x, y): return self.Find(x) == self.Find(y) ```
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