最短路的各种算法

以下为各种最短路算法

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Floyd

时间复杂度：O(n^3)

适用范围：求任意两点间的最短路，能够处理负边权，但无法处理负权回路。

主要思想：利用DP的思想，dis[i][j]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j])，不断更新至最优。

中心代码：

for (int k=1;k<=n;k++)
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++)
             if (dis[i][j]>dis[i][k]+dis[k][j]&&i!=k&&k!=j&&j!=i)
                   dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];

练手题：洛谷P2888、洛谷P2910（题解洛谷上有）

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Dijkstra

时间复杂度：O（n^2）

适用范围：单源最短路径（稳定性最高的算法），无法处理负边权。

主要思想：将图所有点的集合 S 分为两部分，V 和 S-V。V 集合是已经得到最短路径的点的集合，在初始情况下 V 中只有一个顶点 t，S-V 是还未得到最短路径点的集合。然后，在每一次迭代过程中取得 S-V 集中到 V 集合任一点距离最短的点，将其加到 V 集合，从 S-V 集合删除。重复此过程直到 S-V 集合为空。（非本人所写）

中心代码（邻接矩阵存图）：

for (int i=1;i<=n;i++){ 
    ans=0x7fffffff;
    for (int j=1;j<=n;j++) 
        if ((f[j])&&(dist[j]<ans)) {
            ans=dist[j];
            st=j;
        }
    f[st]=false;
    for (int j=1;j<=n;j++) 
        if ((f[j])&&(dist[j]>dist[st]+g[st][j]))
            dist[j]=dist[st]+g[st][j];
}

练手题见SPFA

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Bellman—Ford

时间复杂度：O(nm)

适用范围：单源最短路径，能够处理负边权，能够判断是否有负权回路。

主要思想：从起点出发，每次枚举已做过的点连接的所有边，修改未做过的点的距离，直到所有点都被更新。

中心代码：

for (int i=1;i<n;i++)
    for (int j=1;j<=m;j++)
        if (dis[u]+w[j]<dis[v])
            dis[v]=dis[u]+w[j];

练手题见SPFA

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SPFA

时间复杂度：O(km)(k为常数，平均值为2)

适用范围：同Bellman—Ford。

主要思想：同Bellman—Ford，用队列优化每次修改操作（其实叫做松弛操作）

中心代码：

while(head<tail){
    int x=que[++head];
    exist[x]=false;
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next){
        dis[ed[i].to]=min(dis[ed[i].to],dis[x]+ed[i].dis);
        if (!exist[ed[i].to]){
            que[++tail]=ed[i].to;
            exist[ed[i].to]=true;
        }
    }
}

练手题：HDUP2544、HDUP1874、HDUP2066（第一题和第三题题解博主有哦！第一题题解 第三题题解）

就这样吧，有误还请多多指正！