洛谷 P1832 A+B Problem（再升级）完全背包

泠楠子

已于 2023-04-27 21:58:18 修改

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文章标签： c++ 算法开发语言

于 2023-04-27 21:52:07 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/a1695574118/article/details/130415749

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文章讨论了一个编程问题，要求计算将正整数n分解为若干个素数之和的方案数。作者提到可以使用完全背包的思路来解决，先通过线性筛等方法找出给定范围内的素数，然后调整完全背包求最大值的模板，改为计算方案数。AC代码中展示了具体的实现过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目背景

题目名称是吸引你点进来的。

实际上该题还是很水的。

题目描述

1+1=? 显然是 22。
a+b=? P1001 回看不谢。
哥德巴赫猜想似乎已呈泛滥趋势。

以上纯属个人吐槽

给定一个正整数 n，求将其分解成若干个素数之和的方案总数。

输入格式

一行一个正整数 n。

输出格式

一行一个整数表示方案总数。

输入输出样例

输入

输出

输入

输出

说明/提示

样例解释

存在如下三种方案：

7=7。
7=2+5。
7=2+2+3。

数据范围及约定

对于 30% 的数据 1≤n≤10。
对于100% 的数据，1≤n≤1e3。

思路：给定一个数，求有多少种方式可以使素数相加等于这个数，素数无限取，可以想到完全背包。

完全背包的属性可以是最大值也可以是数量。

明显本题要求的属性为数量，即求有多少种方法可以装满背包。

完全背包求最大值的模板如下：

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N], v[N], w[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = v[i]; j <= m; j ++)
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    
    cout << f[m];
}

求有多少种方法填满背包的思路与求背包最大值的思路基本一致，所以对以上模板稍作修改即可。

每个物品的体积就相当于每个素数的大小，没有价值，可以把w数组删掉。

体积数组装素数，来个埃及筛、线性筛什么的先把m以内的素数筛出来。

f[0]的含义为背包容量为0时有几种方法填满它，一个素数也不选，值为1；

记得开long long数组，值可能很大。

AC代码：

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1010;

int n, m;
int primes[N], cnt = 0;
ll f[N];
bool st[N];

void is_prime(int n)
{
	for(int i = 2; i <= n; i ++)
	{
		if(!st[i])primes[cnt ++] = i;
		for(int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++)
		{
			st[primes[j] * i] = true;
			if(i % primes[j] == 0)break;
		}
	}
}

int main()
{	
    cin >> m;
    
    is_prime(m);
    
    f[0] = 1;
    for(int i = 0; i < cnt; i ++)
    {
        for(int j = primes[i]; j <= m; j ++)
        {
            f[j] += f[j - primes[i]];
        }
    }
    
    cout << f[m];
}