向量组等价和矩阵等价

向量组等价和矩阵等价

区别

向量组等价和矩阵等价是两个不同的概念。

• 向量组等价是从能够互相线性表出的角度给出定义；
• 矩阵等价是从初等变换的角度给出定义。

概念

两个矩阵等价的定义为 A经过若干初等变换后成为B，充分必要条件是两个矩阵具有相同的秩。

• 首先要知道，矩阵做初等变换，矩阵的秩不变；如果一个矩阵P可逆，可以写成一系列初等矩阵的乘积

• 所以矩阵等价是存在可逆变换（行变换或列变换，对应于1个可逆矩阵），使得两个矩阵之间可以相互转化

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两个向量组α，β等价向量组的充分必要条件是α与β可以相互线性表示

• 是两向量组中的各向量，都可以用另一个向量组中的向量线性表示

• 向量组（必须包含向量个数相同）等价能够推出矩阵等价。

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联系

矩阵变换中

• 如果是行变换，相当于两矩阵的行向量组是等价的，即可逆矩阵P在A矩阵的左边
• 如果是列变换，相当于两矩阵的列向量组是等价的，即可逆矩阵P在A矩阵的左边

向量组等价中

• 向量组（两个向量组的向量个数必须相同）等价能够推出矩阵等价。