ZOJ Problem Set - 2338 The Towers of Hanoi Revisited DFS+预处理

ZOJ Problem Set - 2338 The Towers of Hanoi Revisited

题目描述：

　　题目链接：Problem Set - 2338 The Towers of Hanoi Revisited

题目大意：

　　给定$N（1<= N <=64）$个盘子和$M（4<= M <= 65）$根柱子，问把$N$个盘子从$1$号柱子移动到$M$号柱子所需要的最少步数，并且输出移动过程。

解题思路：

　　对于整个移动的过程可以概括为如下：

• 先把$k$个盘子，通过j跟柱子移动到中间的某根柱子上,步数:$f[k][j]$;

  • 把剩下的$i-k$个盘子通过剩下的$j-1$跟柱子移到第j跟柱上，步数：$f[i-k][j-1]$；

  • 最后再把中间的$k$个盘子移到J柱上，步数：$f[k][j]$。

    　　为防止重复计算，且该题状态有限$（64*65）$，因此作为预处理将所有的状态所需最小步数求出。
    再通过$DFS$按照上述思路打印出移动步骤即可。

  • 复杂度分析:

    时间复杂度 $O(n^2)$
    空间复杂度 $O(n^2)$

    AC代码：

    #include <cstdio>
    #include <stack>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    const int maxn = 70;
    const unsigned long long INF=0xffffffffffffffff;//定义无限大
    unsigned long long f[maxn][maxn]; //f[i][j]表示i个盘，通过j个柱子，全程移动所需要的最少次数。
    int pre[maxn][maxn]; //pre[i][j]表示f[i][j]的最优方案是先将最小的path[i][j]个盘移动到中间某根的柱子上
    int n,m;//n个盘子 m个柱子
    stack<int>stk[maxn];//每个柱子看做一个栈
    bool used[maxn];//用来标记当前柱子是否为空
    
    void init(){  //初始化，预处理所有盘数与柱数的组合下，需要移动的次数
        memset(f,INF,sizeof(f));
        for(int i = 3; i <= 65; i++){
            f[0][i] = 0;
            f[1][i] = 1;
        }//所有盘数为0的情况，步数为0.所有盘数为1的情况，步数为1
        for(int i = 1; i <= 64; i++){
            f[i][3] = f[i-1][3] * 2 + 1;
            pre[i][3] = i - 1;
        }//初始化三根柱子的情况
        for(int i = 2; i <= 64; i++){//盘数从2起
            for(int j = 4; j <= 65; j++){ //柱数从3起
                for(int k = 1; k < i; k++){//为达到最优方案处于中间柱上的盘数。
                    if(f[i][j] > f[i-k][j-1] + 2*f[k][j]){
                        f[i][j] = f[i-k][j-1] + 2*f[k][j];
                        pre[i][j] = k;
                    }
        /*先把k个盘子，通过j跟柱子移动到中间的某根柱子上f[k][j];
          把剩下的i-k个盘子通过剩下的j-1跟柱子移到第j跟柱子f[i-k][j-1]；
          最后再把中间的k个盘子移到J柱上f[k][j]。
          共计f[i-k][j-1] + 2*f[k][j]*/
                }
            }
        }
    }
    
    void dfs(int nt,int mt,int src,int des){//nt盘数，mt柱数，src起点，des终点
        if(nt == 1){
            if(stk[des].size())
                printf("move %d from %d to %d atop %d\n",stk[src].top(),src,des,stk[des].top());
            else
                printf("move %d from %d to %d\n",stk[src].top(),src,des);
            stk[des].push(stk[src].top());
            stk[src].pop();
            return;
        }
        int peg = 0; //柱子编号
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            if(i != src && i != des && !used[i] ){
                peg = i;
                break;
            }
        }
        dfs(pre[nt][mt],mt,src,peg);//先把k个盘子，通过j跟柱子移动到中间的某根柱子上
        used[peg] = true;
        dfs(nt - pre[nt][mt],mt-1,src,des);//把剩下的i-k个盘子通过剩下的j-1跟柱子移到第j跟柱子
        used[peg] = false;
        dfs(pre[nt][mt],mt,peg,des);//最后再把中间的k个盘子移到J柱上
    }
    
    int main(){
        init();
        int N;
        cin >> N;
        while(N--){
            scanf("%d%d",& n,& m);
            for(int i = 1; i <= m; i++)while(!stk[i].empty()) stk[i].pop();//清空栈
            for(int i = n; i >= 1; i--)stk[1].push(i); //给第一根柱子上放盘
            memset(used,false,sizeof(used));
            printf("%llu\n",f[n][m]);
            dfs(n,m,1,m);
        }
        return 0;
    }