P7914 [CSP-S 2021] 括号序列

题目描述

小 w 在赛场上遇到了这样一个题：一个长度为 $n$ 且符合规范的括号序列，其有些位置已经确定了，有些位置尚未确定，求这样的括号序列一共有多少个。

身经百战的小 w 当然一眼就秒了这题，不仅如此，他还觉得一场正式比赛出这么简单的模板题也太小儿科了，于是他把这题进行了加强之后顺手扔给了小 c。

具体而言，小 w 定义“超级括号序列”是由字符 (、)、* 组成的字符串，并且对于某个给定的常数 $k$，给出了“符合规范的超级括号序列”的定义如下：

1. ()、(S) 均是符合规范的超级括号序列，其中 S 表示任意一个仅由不超过 $\mathbf{k}$ 个字符 * 组成的非空字符串（以下两条规则中的 S 均为此含义）；
2. 如果字符串 A 和 B 均为符合规范的超级括号序列，那么字符串 AB、ASB 均为符合规范的超级括号序列，其中 AB 表示把字符串 A 和字符串 B 拼接在一起形成的字符串；
3. 如果字符串 A 为符合规范的超级括号序列，那么字符串 (A)、(SA)、(AS) 均为符合规范的超级括号序列。
4. 所有符合规范的超级括号序列均可通过上述 3 条规则得到。

例如，若 $k=3$，则字符串 ((**()*(*))*)(***) 是符合规范的超级括号序列，但字符串 *()、(*()*)、((**))*)、(****(*)) 均不是。特别地，空字符串也不被视为符合规范的超级括号序列。

现在给出一个长度为 $n$ 的超级括号序列，其中有一些位置的字符已经确定，另外一些位置的字符尚未确定（用 ? 表示）。小 w 希望能计算出：有多少种将所有尚未确定的字符一一确定的方法，使得得到的字符串是一个符合规范的超级括号序列？

可怜的小 c 并不会做这道题，于是只好请求你来帮忙。

输入格式

第一行，两个正整数 $n,k$。

第二行，一个长度为 $n$ 且仅由 (、)、*、? 构成的字符串 $S$。

输出格式

输出一个非负整数表示答案对 ${10}^9+7$ 取模的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

7 3
(*??*??

输出 #1

5

输入输出样例 #2

输入 #2

10 2
???(*??(?)

输出 #2

19

输入输出样例 #3

输入 #3

见附件中的 bracket/bracket3.in

输出 #3

见附件中的 bracket/bracket3.ans

输入输出样例 #4

输入 #4

见附件中的 bracket/bracket4.in

输出 #4

见附件中的 bracket/bracket4.ans

说明/提示

【样例解释 #1】

如下几种方案是符合规范的：

(**)*()
(**(*))
(*(**))
(*)**()
(*)(**)

【数据范围】

测试点编号	$n\le$	特殊性质
$1\sim 3$	$15$	无
$4\sim 8$	$40$	无
$9\sim 13$	$100$	无
$14\sim 15$	$500$	$S$ 串中仅含有字符 ?
$16\sim 20$	$500$	无

对于 $100\%$ 的数据，$1\le k\le n\le 500$。

题目分析

• 该代码实现了一个动态规划算法，用于计算特定条件下的合法括号序列数量。题目要求括号序列中- - 连续的星号（*）不超过 k 个，且星号和问号（?，可替换为 (、) 或 *）构成合法括号序列。

动态规划状态定义

• 定义 dp[i][j][x] 表示字符串区间 [i, j] 在状态 x 下的方案数：

• dp[i][j][0]：区间 [i, j] 全是 *（长度不超过 k）。

• dp[i][j][1]：区间 [i, j] 是一个合法括号对 ()。

• dp[i][j][2]：区间 [i, j] 形如 …(…)（左边是 *，右边是括号序列）。

• dp[i][j][3]：区间 [i, j] 形如 (…)…（左边是括号序列，右边是 *）。

• dp[i][j][4]：区间 [i, j] 形如 (…)…(…)（中间是 *，两边是括号序列）。

关键逻辑

• 初始化：dp[i][i-1][0] = 1（空区间视为合法 * 序列）。
• 全 * 状态（dp[i][j][0]）：
• 若区间长度 ≤ k 且字符为 * 或 ?，则 dp[i][j][0] 继承 dp[i][j-1][0]。
• 合法括号对（dp[i][j][1]）：
• 需满足 str[i] 为 ( 或 ?，str[j] 为 ) 或 ?。
• 内部区间 [i+1, j-1] 可以是全 * 或其他合法括号状态（状态 2、3、4）。

组合状态（dp[i][j][2]、dp[i][j][3]、dp[i][j][4]）：

• 状态 2：左边 * 序列与右边括号序列组合。
• 状态 3：左边括号序列与右边 * 或其他括号序列组合。
• 状态 4：左边括号序列与右边 * 序列组合。

最终答案

• 答案存储在 dp[1][n][3]，表示整个字符串的合法括号序列方案数（含 * 的合法组合）。

代码优化

• 时间复杂度：$O(n^3)$，三重循环（区间长度、起点、分割点）。
• 空间复杂度：$O(n^2)$，使用三维数组存储状态。

详细代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=505,mod=1e9+7;
int dp[N][N][5],n,k;
string str;
/*
dp[i][j][0]代表i到j全是*
dp[i][j][1]代表()
dp[i][j][2]代表*()这种左右都是括号序列
dp[i][j][3]代表()*()这种右边为括号序列
dp[i][j][4]代表()*这种左右为*
*/
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>k;
	cin>>str;
	for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][i-1][0]=1;
	for(int l=1;l<=n;l++)
	{
		for(int i=1;i<=n-l+1;i++)
		{
			int j=i+l-1;
			if(l<=k) dp[i][j][0]=dp[i][j-1][0]&&(str[j-1]=='*'||str[j-1]=='?');
			if(l>=2)
			{
				if((str[i-1]=='?'||str[i-1]=='(')&&(str[j-1]=='?'||str[j-1]==')'))
					dp[i][j][1]=(dp[i+1][j-1][0]+dp[i+1][j-1][2]+dp[i+1][j-1][3]+dp[i+1][j-1][4])%mod;
				for(int r=i;r<=j-1;r++)
				{
					dp[i][j][2]=(dp[i][j][2]+dp[i][r][0]*dp[r+1][j][3])%mod;
					dp[i][j][3]=(dp[i][j][3]+dp[i][r][1]*(dp[r+1][j][2]+dp[r+1][j][3]))%mod;
					dp[i][j][4]=(dp[i][j][4]+dp[i][r][3]*dp[r+1][j][0])%mod;
				}
			}dp[i][j][3]=(dp[i][j][3]+dp[i][j][1])%mod;
		}
	}
//	for(int i=1;i<=n;i++)
	cout<<dp[1][n][3];
	return 0;
}