Gym - 100520C - DP+打表

最新推荐文章于 2023-08-29 17:30:27 发布

a1214034447

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本文详细解析了VJudge Gym-100520C题目的解题思路，采用动态规划算法，通过五维状态转移实现，解决了最大值和最小值的维护问题，并通过优化状态空间减少计算复杂度。

题目链接:https://vjudge.net/problem/Gym-100520C

解题思路:

一开始的想法是思维的dp，第一维是走了几步，第二维是当前点下一步能走的最大值，第三维是当前点下一步能走的最小值，第四维是当前点的值。

显然如果从当前点的值变小走的话既不会改变最大值也不会改变最小值，但是如果是往上走的话最大值就会加一。然而这个时候最小值就无法维护了，因为即不一定是上一个状态的最小值也不是最大值，而是之前出现过的值第一个小于现在转态的值。所以必须再加一维去维护之前出现过的数，也就是0-31，用二进制的话刚好可以用int存下，但必须要优化，否则转态非常的巨大。

不难发现用int s代表当前转态直接出现过的值有哪些，以及k是当前状态下一步的最小值。那么说小于k的值以后都不可能用到了，所以s应该减去s&((1<<k)-1)也就是减去小于k的值的出现，因为以后不会再用，所以存下这些状态已经无用。

因为第五维范围太大所以只能用队列去做状态的转移，且用set以及map去维护状态的方案数。

所以最后的时间复杂度大约是O(n^7*log(n^6)),因为n很小，所以可以先把答案跑出来最后再打表输出就可以了。

#include <bits/stdc++.h>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int uint;
const int mx = 35;
const int N = 32;
int n;
ll ans[mx];
struct node
{
	int i,A,low;
	int last;
	uint s;
	bool operator < (node a)const
	{
		if(i!=a.i) return i < a.i;
		if(A!=a.A) return A < a.A;
		if(low!=a.low) return low < a.low;
		if(last!=a.last) return last < a.last;
		return s < a.s;
	}
};
set <node> vis;
map <node,ll> mp;
int Get(uint s,int k)
{
	for(int i=k-1;i>=0;i--)
	if(s&(1<<i)) return i;
}
void init()
{
	ans[1] = 1;
	queue <node> que;
	que.push(node{2,0,0,0,1});
	mp[node{2,0,0,0,1}] = 1;
	que.push(node{2,1,0,1,3});
	mp[node{2,1,0,1,3}] = 1;
	node tmp;
	while(!que.empty()){
		node now = que.front();
		que.pop();
		ans[now.i] += mp[now];
		if(now.i==32) continue;
		for(int k=now.low;k<=now.A+1;k++)
		{
			if(k>now.last){
				tmp = {now.i+1,now.A+1,Get(now.s,k),k,now.s|(1<<k)};
			}else tmp = {now.i+1,now.A,now.low,k,now.s|(1<<k)};
			tmp.s -= tmp.s&((1<<tmp.low)-1);
			if(!vis.count(tmp))
			{
				vis.insert(tmp);
				que.push(tmp);
				mp[tmp] = mp[now];
			}else mp[tmp] += mp[now];
		}
	} 
	for(int i=1;i<=32;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
}
ll ret[] = {
1,
2,
5,
14,
42,
133,
442,
1535,
5546,
20754,
80113,
317875,
1292648,
5374073,
22794182,
98462847,
432498659,
1929221610,
8728815103,
40017844229,
185727603829,
871897549029,
4137132922197,
19828476952117,
95934298966615,
468291607852143,
2305162065138433,
11437543341740789,
57178201626205353,
287892071946023887,
1459414167392268173,
7446238508716086567
};
int main()
{   
	//init();
	int ca = 1;
	freopen("catalian.in","r",stdin);
	freopen("catalian.out","w",stdout);
	while(scanf("%d",&n))
	{
		if(n==0) break;
		printf("Case #%d: %lld\n",ca++,ret[n-1]);
	}//
    return 0; 
}