整除问题：给定n，a求最大的k，使n！可以被a^k整除但不能被a^(k+1)整除

题目描述：

给定n，a求最大的k，使n！可以被a^k整除但不能被a^(k+1)整除。

输入：

两个整数n(2<=n<=1000)，a(2<=a<=1000)

输出：

一个整数.

样例输入：

6 10

样例输出：

1

本题目不采用轮流试的暴力解法，因为n若足够大，比如1000!实则是一个很大的数（相当大，超出想象）。 于是我们想一下，既然要求整除，说明两个数n!的素因数与a的每个素因数都是可以抵消的，这样我们就可以求解了。

我看了很多博文，很多人写出来的代码其实是有bug的。此处首先先算出较小的数a的所有素因数，讲解可以看我的前一篇博文“ 

C语言求最大公约数、最小公倍数

”。再而就是用a的素因数去试探n!（这里其实是试探n，非n!）

#include<stdio.h>
#include<math.h>

#define  INF 32767

int prime[200];
int primesize;
bool mark[1000];

void init()
{//素数筛法：求出1~1000内的所有素数，并保存在prime素组中
	primesize = 0;
	for (int i = 0; i < 1000; i++)							//初始化
		mark[i] = false;
	for (int i = 2; i < 1000; i++)
		if(mark[i]==true) continue;
		else
		{
			prime[primesize++]=i;
			for (int j = i; j < 1000; j+=i)
				mark[j]=true;
		}
}

int main()
{
	int n,a;
	int sqrtnum;
	int prime_num;
	int primeofa[200][2];									//二维数组，第一维保存a的素因数值，二维保存其幂指数（次方）
	init();
	while (scanf("%d%d",&n,&a)!=EOF)
	{
		prime_num=0;
		sqrtnum = (int)sqrt(double(a))+1;
		for (int i = 0; i < 200; i++) primeofa[i][1]=0;
		for (int i = 0; i < primesize && prime[i]<sqrtnum;i++)//分解出a的所有素因数
		{
			if(a%prime[i]==0)								//prime[i]是n的素因数
			{
				primeofa[prime_num][0]=prime[i];
				while (a%prime[i]==0)
				{
					primeofa[prime_num][1]++;
					a/=prime[i];
				}
				prime_num++;
			}
			if(a==1) break;
		}
		if (a!=1)
		{
			primeofa[prime_num][0]=a;
			primeofa[prime_num][1]++;
			prime_num++;
		}
		int j;
		bool CanDivde = true;											//n!能否整除a标志
		int count_min=INF;
		int c=0;
		for (int i = 0; i < prime_num&&CanDivde; i++)					//本循环求出n!是a的k倍
		{
			j=1;
			if(n/primeofa[i][0]==0) CanDivde = false;					//a的某个素因数不是n!的因数，n!不能被a整除
			else
			{
				c= 0;
				while(n/primeofa[i][0]>0)								//若该a的素因数也是n!的素因数
				{
					int pownum =(int)pow(double(primeofa[i][0]),double(j));//取素因数的j次方
					c+=n/pownum;										//累加该素因数的幂指数
					j++;
					if(n/pownum==0) break;								//该素因数的幂指数个数统计完毕，退出
				}
				if(c < primeofa[i][1]) CanDivde = false;				//a与n!存在相同的素因数，但该素因数在a中的次数高于n!中的，n!也不能被a整除
				else c /= primeofa[i][1];								//求n!中该素因数幂指数是a中该幂指数的倍数
				if(count_min>c) count_min = c;							//找出最小倍数，即为所求
			}
		}
		if(CanDivde) printf("%d\n",count_min);							//该值即为所求
		else printf("-1\n");											//n!不能整除a在输出-1
	}
	return 0;
}

黑框运行结果：