codeforces 183D

本文介绍了一个有趣的问题:如何通过算法确定购买T恤的组合,使得尽可能多的人能得到合适的尺码,采用动态规划的方法解决了该问题,并优化了算法的时间复杂度。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

D. T-shirt
time limit per test5 seconds
memory limit per test256 megabytes
inputstandard input
outputstandard output
You are going to work in Codeforces as an intern in a team of n engineers, numbered 1 through n. You want to give each engineer a souvenir: a T-shirt from your country (T-shirts are highly desirable in Codeforces). Unfortunately you don’t know the size of the T-shirt each engineer fits in. There are m different sizes, numbered 1 through m, and each engineer will fit in a T-shirt of exactly one size.

You don’t know the engineers’ exact sizes, so you asked your friend, Gerald. Unfortunately, he wasn’t able to obtain the exact sizes either, but he managed to obtain for each engineer i and for all sizes j, the probability that the size of the T-shirt that fits engineer i is j.

Since you’re planning to give each engineer one T-shirt, you are going to bring with you exactly n T-shirts. For those n T-shirts, you can bring any combination of sizes (you can bring multiple T-shirts with the same size too!). You don’t know the sizes of T-shirts for each engineer when deciding what sizes to bring, so you have to pick this combination based only on the probabilities given by your friend, Gerald.

Your task is to maximize the expected number of engineers that receive a T-shirt of his size.

This is defined more formally as follows. When you finally arrive at the office, you will ask each engineer his T-shirt size. Then, if you still have a T-shirt of that size, you will give him one of them. Otherwise, you don’t give him a T-shirt. You will ask the engineers in order starting from engineer 1, then engineer 2, and so on until engineer n.

Input
The first line contains two space-separated integers n and m (1 ≤ n ≤ 3000, 1 ≤ m ≤ 300), denoting the number of engineers and the number of T-shirt sizes, respectively.

Then n lines follow, each line contains m space-separated integers. The j-th integer in the i-th line represents the probability that the i-th engineer fits in a T-shirt of size j. Each probability will be given as an integer between 0 and 1000, inclusive. The actual probability should be calculated as the given number divided by 1000.

It is guaranteed that for any engineer, the sum of the probabilities for all m T-shirts is equal to one.

Output
Print a single real number denoting the maximum possible expected number of engineers that will receive a T-shirt.

For the answer the absolute or relative error of 10 - 9 is acceptable.

题意描述:
DescriptionDescription
小A要给N个人准备礼物——T-shirt!但是你不知道他们的尺码……总共有M种尺码,编号从1到M。虽然你不记得每个人准确的尺码,但是你记得对于每一个人i,每一个尺码j,i的尺码正好是j的概率Pij.
现在你要买正好N件T-shirt,求能收到合适尺码礼物的人数的最大期望值。
你送礼物的方式是:从第1个人到第N个人依次询问,如果还有他们的尺码的T-shirt,就送出,否则就不送。
InputInput
第一行有两个整数N,M
接下来有N行,每行有M个整数,第i行的第j个整数表示Pij,用0到1000的整数表示,真实的概率用给出的数字除以1000得到。
保证每一行的整数和是1000。

首先我们可以发现每种礼物(暂且称T恤为礼物)都是独立的,互不影响的

我们考虑第kk种礼物

f[i][j]表示前ii个人有j个人适合的概率
假设pp为概率数组(已经转化为实数)

写出状态转移方程
f[i][j]=f[i1][j1]p[i][k]+f[i1][j](1p[i][k])
但是再把k这一维加进去是不是MLE了啊??
不急我们往下看

同样对于第kk种礼物
g[i]表示买ii件礼物能带来的期望
g[i]=j=0ijf[n][j]+ij=i+1nf[n][j]

这里如果我们不考虑满分,则可直接分组背包合并答案
时间复杂度O(n2m)O(n2m)

这个做法的瓶颈就在于ff数组的大小和合并

我们看g数组的计算形势
随着增大 ,相当于从右边取出一项移到右边。
我们不妨尝试对相邻两项做差,有惊喜!
g[i+1]g[i]=1ij=1f[n][j]g[i+1]−g[i]=1−∑j=1if[n][j]
我们可以发现这个插值是单调的
也就是gg数组是上凸的!
所以g[i]不选g[i+1]g[i+1]也不选

我们考虑贪心
假设我们计算出了所有的g[1]g[1]我们显然取出gg最大的那组物品最优
那我们取出来之后根据相邻两项的差算出下一项,减去前一项的贡献
再和原来的其它g比,就好了
这里我们可以发现ff数组并不是全有用,我们只要随着选的物品增多同步更新f数组即可!
可以省掉一维和大量时间复杂度!
最终时间复杂度:On2+nmO(n2+nm)
对于后面我们可以优化到O(n2+nlogm)O(n2+nlogm)
没有必要这里就不过多篆述

代码如下:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n , m;
double p[3010][310] , f[310][3010];
double g[3010] , g_lazy[310] , tmp[3010]; 
double ans;
int num[310];
int read(){
    int sum = 0;char c = getchar();bool flag = true;
    while( c < '0' || c > '9' ) {if(c == '-') flag = false;c = getchar();}
    while( c >= '0' && c <= '9' ) sum = sum * 10 + c - 48 , c = getchar();
    if(flag)  return sum;
     else return -sum;
}  

void pre(){
    n = read();m = read();
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        for(int j = 1;j <= m;++j)
            p[i][j] = read() * 1.0 / 1000;
    for(int j = 1;j <= m;++j)
        f[j][0] = 1.0;
    for(int i = 1;i <= m;++i){
        for(int j = 1;j <= n;++j)
            f[i][j] = f[i][j - 1] * ( 1 - p[j][i]);
        g_lazy[i] = 1.0 - f[i][n];
    }
    return;
}

void solve(int x){
    num[x]++;
    if(num[x] >= n){
        g_lazy[x] = 0;
        return;
    }
    for(int i = 0;i <= n;++i)
        tmp[i] = f[x][i];
    f[x][0] = 0.0;
    for(int i = 1;i <= n;++i)
        f[x][i] = f[x][i - 1] * (1.0 - p[i][x]) + tmp[i - 1] * p[i][x];
    g_lazy[x] -= f[x][n];
    return;
}

void work(){
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        double Max = 0 ;int id = 0;
        for(int j = 1;j <= m;++j)
            if( Max < g_lazy[j] ){
                Max = g_lazy[j];
                id = j;
            }
        ans += Max;
        if(!id) return;
        solve(id);
    }
    printf("%.8lf",ans);
    return;
}

int main(){
    freopen("gift.in","r",stdin);
    freopen("gift.out","w",stdout); 
    pre();
    work();
    return 0;
}
基于数据挖掘的音乐推荐系统设计与实现 需要一个代码说明,不需要论文 采用python语言,django框架,mysql数据库开发 编程环境:pycharm,mysql8.0 系统分为前台+后台模式开发 网站前台: 用户注册, 登录 搜索音乐,音乐欣赏(可以在线进行播放) 用户登陆时选择相关感兴趣的音乐风格 音乐收藏 音乐推荐算法:(重点) 本课题需要大量用户行为(如播放记录、收藏列表)、音乐特征(如音频特征、歌曲元数据)等数据 (1)根据用户之间相似性或关联性,给一个用户推荐与其相似或有关联的其他用户所感兴趣的音乐; (2)根据音乐之间的相似性或关联性,给一个用户推荐与其感兴趣的音乐相似或有关联的其他音乐。 基于用户的推荐和基于物品的推荐 其中基于用户的推荐是基于用户的相似度找出相似相似用户,然后向目标用户推荐其相似用户喜欢的东西(和你类似的人也喜欢**东西); 而基于物品的推荐是基于物品的相似度找出相似的物品做推荐(喜欢该音乐的人还喜欢了**音乐); 管理员 管理员信息管理 注册用户管理,审核 音乐爬虫(爬虫方式爬取网站音乐数据) 音乐信息管理(上传歌曲MP3,以便前台播放) 音乐收藏管理 用户 用户资料修改 我的音乐收藏 完整前后端源码,部署后可正常运行! 环境说明 开发语言:python后端 python版本:3.7 数据库:mysql 5.7+ 数据库工具:Navicat11+ 开发软件:pycharm
MPU6050是一款广泛应用在无人机、机器人和运动设备中的六轴姿态传感器,它集成了三轴陀螺仪和三轴加速度计。这款传感器能够实时监测并提供设备的角速度和线性加速度数据,对于理解物体的动态运动状态至关重要。在Arduino平台上,通过特定的库文件可以方便地与MPU6050进行通信,获取并解析传感器数据。 `MPU6050.cpp`和`MPU6050.h`是Arduino库的关键组成部分。`MPU6050.h`是头文件,包含了定义传感器接口和函数声明。它定义了类`MPU6050`,该类包含了初始化传感器、读取数据等方法。例如,`begin()`函数用于设置传感器的工作模式和I2C地址,`getAcceleration()`和`getGyroscope()`则分别用于获取加速度和角速度数据。 在Arduino项目中,首先需要包含`MPU6050.h`头文件,然后创建`MPU6050`对象,并调用`begin()`函数初始化传感器。之后,可以通过循环调用`getAcceleration()`和`getGyroscope()`来不断更新传感器读数。为了处理这些原始数据,通常还需要进行校准和滤波,以消除噪声和漂移。 I2C通信协议是MPU6050与Arduino交互的基础,它是一种低引脚数的串行通信协议,允许多个设备共享一对数据线。Arduino板上的Wire库提供了I2C通信的底层支持,使得用户无需深入了解通信细节,就能方便地与MPU6050交互。 MPU6050传感器的数据包括加速度(X、Y、Z轴)和角速度(同样为X、Y、Z轴)。加速度数据可以用来计算物体的静态位置和动态运动,而角速度数据则能反映物体转动的速度。结合这两个数据,可以进一步计算出物体的姿态(如角度和角速度变化)。 在嵌入式开发领域,特别是使用STM32微控制器时,也可以找到类似的库来驱动MPU6050。STM32通常具有更强大的处理能力和更多的GPIO口,可以实现更复杂的控制算法。然而,基本的传感器操作流程和数据处理原理与Arduino平台相似。 在实际应用中,除了基本的传感器读取,还可能涉及到温度补偿、低功耗模式设置、DMP(数字运动处理器)功能的利用等高级特性。DMP可以帮助处理传感器数据,实现更高级的运动估计,减轻主控制器的计算负担。 MPU6050是一个强大的六轴传感器,广泛应用于各种需要实时运动追踪的项目中。通过 Arduino 或 STM32 的库文件,开发者可以轻松地与传感器交互,获取并处理数据,实现各种创新应用。博客和其他开源资源是学习和解决问题的重要途径,通过这些资源,开发者可以获得关于MPU6050的详细信息和实践指南
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