本文详细介绍了一种经典的最小生成树算法——克鲁斯卡尔算法的实现过程，通过邻接矩阵构建图，并演示了如何使用该算法寻找图的最小生成树。文章提供了完整的代码示例，包括图的创建、遍历以及最小生成树的生成。
添加链接描述关于克鲁斯卡尔算法的介绍 博客中有许多的介绍 但是我想找一个可以直接运行的代码确很难 于是在g i t h u b找了一些代码实现了一下,并在其中做了一些标注 供以后学习使用吧!
这里上传了基于邻接矩阵实现的prim 算法和克鲁斯卡尔算法.后期会介绍基于邻接表的这两种算法!!
在这里插#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <malloc.h>
#include <string.h>
#define MAX 100 // 矩阵最大容量
#define INF (~(0x1<<31)) // 最大值(即0X7FFFFFFF) 就是邻接矩阵中的那个不可能的值
#define isLetter(a) ((((a)>='a')&&((a)<='z')) || (((a)>='A')&&((a)<='Z')))//输入的结点的信息是因为字母
#define LENGTH(a) (sizeof(a)/sizeof(a[0]))
// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{
char vexs[MAX]; // 顶点集合
int vexnum; // 顶点数
int edgnum; // 边数
int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;
// 边的结构体
typedef struct _EdgeData
{
char start; // 边的起点
char end; // 边的终点
int weight; // 边的权重
}EData;
/*
* 返回ch在matrix矩阵中的位置
*找到该结点在顶点集合数组中的位置
*/
static int get_position(Graph G, char ch)
{
int i;
for(i=0; i<G.vexnum; i++)
if(G.vexs[i]==ch)
return i;
return -1;
}
/*
* 读取一个输入字符
*所谓读取一个字符 就是为了在创建结点的时候 便于输入信息
*/
static char read_char()
{
char ch;
do {
ch = getchar();
} while(!isLetter(ch));
return ch;
}
/*
* 创建图(自己输入) 这是自己手动收入的图
*/
Graph* create_graph()
{
char c1, c2;
int v, e;
int i, j, weight, p1, p2;
Graph* pG;
// 输入"顶点数"和"边数"
printf("input vertex number: ");//提示输入顶点数
scanf("%d", &v);
printf("input edge number: ");//提示输入边数
scanf("%d", &e);
//判断输入的数字要是有效的数字
if ( v < 1 || e < 1 || (e > (v * (v-1))))
{
printf("input error: invalid parameters!\n");
return NULL;
}
//给图分配空间
if ((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL )
return NULL;
//将图内信息全部置0
memset(pG, 0, sizeof(Graph));
// 初始化"顶点数"和"边数"
//把刚才输入的边数和顶点数赋值到其中去
pG->vexnum = v;
pG->edgnum = e;
// 初始化"顶点"
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
{
printf("vertex(%d): ", i);
//给点输入信息 比如说结点是A还是B什么的
pG->vexs[i] = read_char();
}
// 1. 初始化"边"的权值
//一开始时将所有的结点的权值都设置最大值 也就是那个不可能的值
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
{
for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
{
if (i==j)
pG->matrix[i][j] = 0;
else
pG->matrix[i][j] = INF;
}
}
// 2. 初始化"边"的权值: 根据用户的输入进行初始化
for (i = 0; i < pG->edgnum; i++)
{
// 读取边的起始顶点，结束顶点，权值
//给你想输入的边赋值 比如说 我想给AB边赋予权值 就可以在这里输入A,B
printf("edge(%d):", i);
c1 = read_char();
c2 = read_char();
//输入这条边的权值
scanf("%d", &weight);
//在获取你输入的顶点在顶点数组中的位置
p1 = get_position(*pG, c1);
p2 = get_position(*pG, c2);
if (p1==-1 || p2==-1)
{
printf("input error: invalid edge!\n");
free(pG);
return NULL;
}
//因为我们研究的是无向图 所以这里是对称相等的
pG->matrix[p1][p2] = weight;
pG->matrix[p2][p1] = weight;
}
return pG;
}
//做实验的是时候 我们可以使用已经创建好的图来验证我们的实验结构
/*
* 创建图(用已提供的矩阵)
*/
Graph* create_example_graph()
{
char vexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
int matrix[][9] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
/*A*/ { 0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},
/*B*/ { 12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},
/*C*/ { INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},
/*D*/ { INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},
/*E*/ { INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},
/*F*/ { 16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},
/*G*/ { 14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};
int vlen = LENGTH(vexs);//这里是统计顶点数
int i, j;
Graph* pG;
// 输入"顶点数"和"边数"
if ((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph))) == NULL )
return NULL;
memset(pG, 0, sizeof(Graph));
// 初始化"顶点数"
pG->vexnum = vlen;
// 初始化"顶点" 给相应的顶点赋值
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
pG->vexs[i] = vexs[i];
// 初始化"边" 把每个边的权值赋进去
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
pG->matrix[i][j] = matrix[i][j];
// 统计边的数目 计算总共具有的边的数目
for (i = 0; i < pG->vexnum; i++)
for (j = 0; j < pG->vexnum; j++)
if (i!=j && pG->matrix[i][j]!=INF)
pG->edgnum++;
//由于无向图是对称的 所以这里会有一个除以2的操作
pG->edgnum /= 2;
return pG;
}
/*
* 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*/
static int first_vertex(Graph G, int v)
{
int i;
if (v<0 || v>(G.vexnum-1))
return -1;
//找到与你输入的顶点第一个相邻接的顶点
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
if (G.matrix[v][i]!=0 && G.matrix[v][i]!=INF)
return i;
return -1;
}
/*
* 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*意思就是说返回相对w顶点的之后的下一个相邻接的地点
*/
static int next_vertix(Graph G, int v, int w)
{
int i;
if (v<0 || v>(G.vexnum-1) || w<0 || w>(G.vexnum-1))
return -1;
for (i = w + 1; i < G.vexnum; i++)
if (G.matrix[v][i]!=0 && G.matrix[v][i]!=INF)
return i;
return -1;
}
/*
* 深度优先搜索遍历图的递归实现
*/
static void DFS(Graph G, int i, int *visited)
{
int w;
visited[i] = 1;
printf("%c ", G.vexs[i]);
// 遍历该顶点的所有邻接顶点。若是没有访问过，那么继续往下走
//这里用到了上面的两个函数 意思就是先对与顶点相邻的第一个顶点进行遍历 然后采用next_vertrix函数进行递增 这与前面我们介绍的
//深度优先遍历有一点区别 但是整体思想是一样的
for (w = first_vertex(G, i); w >= 0; w = next_vertix(G, i, w))
{
if (!visited[w])
DFS(G, w, visited);//与前面博客介绍的一样 这里都是采用的是递归思想
}
}
/*
* 深度优先搜索遍历图
*/
void DFSTraverse(Graph G)
{
int i;
int visited[MAX]; // 顶点访问标记
// 初始化所有顶点都没有被访问
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0;
printf("DFS: ");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
//printf("\n== LOOP(%d)\n", i);
if (!visited[i])
DFS(G, i, visited);//这里使用了上面的函数
}
printf("\n");
}
/*
* 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）广度优先遍历数组使用到了队列
*/
void BFS(Graph G)
{
int head = 0;//队标的头
int rear = 0;//对标的尾
int queue[MAX]; // 辅组队列
int visited[MAX]; // 顶点访问标记
int i, j, k;
//先将其全部设置位没有访问
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
visited[i] = 0;
printf("BFS: ");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
if (!visited[i])
{
visited[i] = 1;//将其标记位已经遍历过了
printf("%c ", G.vexs[i]);//输出这个结点的信息
queue[rear++] = i; // 入队列再将i放到队列的尾部中去
}
while (head != rear) //如果头尾不相等 则说明这个队列不为空
{
j = queue[head++]; // 出队列 将刚刚放入的顶点从队列中移出
for (k = first_vertex(G, j); k >= 0; k = next_vertix(G, j, k)) //k是为访问的邻接顶点 然后一次访问与这个顶点相邻的顶点
{
if (!visited[k])
{
visited[k] = 1;
printf("%c ", G.vexs[k]);
queue[rear++] = k;//将访问过的顶点再次放到队列中去 然后返回到上面去
}
}
}
}
printf("\n");
//这个函数的主要思想是这样的 我一开始先访问下标为0的顶点 然后将这个顶点发放入到队列中去
//然后while循环内 遍历与这个顶点相邻的边的顶点 然后依次访问相邻的顶点
}
/*
* 打印矩阵队列图
*/
void print_graph(Graph G)
{
int i,j;
printf("Martix Graph:\n");
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
for (j = 0; j < G.vexnum; j++)
printf("%10d ", G.matrix[i][j]);//将整个图的边都输出
printf("\n");
}
}
/*
* prim最小生成树
*
* 参数说明：
* G -- 邻接矩阵图
* start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树
*/
void prim(Graph G, int start)
{
int min,i,j,k,m,n,sum;
int index=0; // prim最小树的索引，即prims数组的索引
char prims[MAX]; // prim最小树的结果数组
int weights[MAX]; // 顶点间边的权值
// prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。
prims[index++] = G.vexs[start];
// 初始化"顶点的权值数组"，
// 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。
for (i = 0; i < G.vexnum; i++ )
weights[i] = G.matrix[start][i];//将与start顶点相邻的边权值全部放入到数组中去
// 将第start个顶点的权值初始化为0。
// 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。
weights[start] = 0;
for (i = 0; i < G.vexnum; i++)
{
// 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。
if(start == i)
continue;
j = 0;
k = 0;
min = INF;
// 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。
while (j < G.vexnum)
{
// 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。
if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)
{
min = weights[j];
k = j;
}
j++;
}
// 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。
// 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中
prims[index++] = G.vexs[k];
// 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。
weights[k] = 0;
// 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。
for (j = 0 ; j < G.vexnum; j++)
{
// 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。
if (weights[j] != 0 && G.matrix[k][j] < weights[j])
weights[j] = G.matrix[k][j];
}
}
// 计算最小生成树的权值
//关于prim算法前面有介绍 这里就没有详细的展开
sum = 0;
for (i = 1; i < index; i++)
{
min = INF;
// 获取prims[i]在G中的位置
n = get_position(G, prims[i]);
// 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。
for (j = 0; j < i; j++)
{
m = get_position(G, prims[j]);
if (G.matrix[m][n]<min)
min = G.matrix[m][n];
}
sum += min;
}
// 打印最小生成树
printf("PRIM(%c)=%d: ", G.vexs[start], sum);
for (i = 0; i < index; i++)
printf("%c ", prims[i]);
printf("\n");
}
/*
* 获取图中的边
*/
EData* get_edges(Graph G)
{
int i,j;
int index=0;
EData *edges;
edges = (EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData));
for (i=0;i < G.vexnum;i++)
{
for (j=i+1;j < G.vexnum;j++)
{
//将这条边的信息赋值到边的结构体中去,
if (G.matrix[i][j]!=INF)
{
edges[index].start = G.vexs[i];
edges[index].end = G.vexs[j];
edges[index].weight = G.matrix[i][j];
index++;
}
}
}
return edges;//再返回这条边的结构体
}
/*
* 对边按照权值大小进行排序(由小到大)
*因为克鲁斯卡尔算法需要对边进行排序 所以这里会设置这样的一个函数
*/
void sorted_edges(EData* edges, int elen)
{
int i,j;
for (i=0; i<elen; i++)
{
for (j=i+1; j<elen; j++)//因为无向图的边是对称的 所以这里j的起点是i+1
{
if (edges[i].weight > edges[j].weight)
{
// 交换"第i条边"和"第j条边"
EData tmp = edges[i];
edges[i] = edges[j];
edges[j] = tmp;
}
}
}
}
/*
* 获取i的终点
*查找连线顶点所在的尾部下标
*/
int get_end(int vends[], int i)
{
while (vends[i] != 0)
i = vends[i];
return i;
}
/*
* 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
*/
void kruskal(Graph G)
{
int i,m,n,p1,p2;
int length;
int index = 0; // rets数组的索引
int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
EData *edges; // 图对应的所有边
// 获取"图中所有的边"
edges = get_edges(G);
// 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)
//此时这个边是已经排序过的边
sorted_edges(edges, G.edgnum);
for (i=0; i<G.edgnum; i++)
{
p1 = get_position(G, edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号
p2 = get_position(G, edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号
m = get_end(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点
n = get_end(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点
// 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路
if (m != n)
{
vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n
rets[index++] = edges[i]; // 保存结果
}
}
free(edges);//释放点存储边指针对应的内存 因为现在所有的信息都已经存放在数组中 所以已经不需要这些边了
// 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息
length = 0;
for (i = 0; i < index; i++)
length += rets[i].weight;//这里统计所有的权值信息 并累计权值的和
printf("Kruskal=%d: ", length);//输出权值的和
for (i = 0; i < index; i++)
printf("(%c,%c) ", rets[i].start, rets[i].end);//输出所有的边的消息
printf("\n");
}
void main()
{
Graph* pG;
// 自定义"图"(输入矩阵队列)
//pG = create_graph();
// 采用已有的"图"
pG = create_example_graph();
//print_graph(*pG); // 打印图
//DFSTraverse(*pG); // 深度优先遍历
//BFS(*pG); // 广度优先遍历
//prim(*pG, 0); // prim算法生成最小生成树
kruskal(*pG); // kruskal算法生成最小生成树
}
入代码片
这里是运行的结果
Kruskal=36: (E,F) (C,D) (D,E) (B,F) (E,G) (A,B)
这里我们运用的给出的图 当然我们也可以调整一下函数 自己手动输入图进去,
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