Math Learning 1.傅里叶变换、拉普拉斯变换

最新推荐文章于 2024-03-01 18:29:52 发布

Zilch_

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分类专栏：数学笔记

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本文介绍了傅里叶变换和拉普拉斯变换的概念及其应用。傅里叶变换用于非周期信号的频域分析，而拉普拉斯变换在傅里叶变换基础上引入衰减因子，适用于微分方程的求解。内容涵盖傅里叶级数的三角形式和指数形式，以及拉普拉斯变换的定义和逆变换。

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对于理工科生，凡是涉及或者从事机械、计算机、通信等信号处理以及控制领域，都不可避免的会接触到傅里叶变换、拉普拉斯变换。最近也在重新学习理解一下这两种变换，在这里记下自己的笔记。
同时我们需要理解一下这三种变换的运用范围关系：

傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。
但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。
傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系，拉普拉斯变换则建立了时域与复频域( $s$ )之间的联系。

学习资料以及笔记思路来源：

1.傅里叶变换

概念

傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性积分变换，用于信号在时域和频域之间的变换，在物理学和工程学中有许多应用。因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。傅里叶变换在医学、数据科学、物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、讯号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。例如在讯号处理中，傅里叶变换的典型用途是将讯号分解成振幅分量和频率分量。

简而言之，傅里叶变换是通过线性积分变换，将信号时域分析转而进行频域分析。什么是频域，你点击一下就知道了，在频域中信号分析的是和频率有关部分，而不是和时间有关的部分。给定的一段信号，我们在时域中能够得到什么信息？幅值随时间的变化？而通过频域分析我们能够得到这一段信号的基本成分，比如有理数轴上基本单位为数字“1”，再如时域的基本单位为‘1s’，于是在频域中基本单位为频率 $\omega_{0}$ ，对应 $\cos(\omega_{0}t)$ 的简谐波。因此我们可以通过频域分析，分析出一段信号是由什么频率的简谐波信号叠加而成。
在这里插入图片描述

傅里叶级数

在满足狄利克雷条件的前提下，即信号 $f (t)$ 绝对可积，傅里叶级数能将任何周期函数或周期信号分解成一个（可能由无穷个元素组成的）简谐波的集合，即正弦函数和余弦函数，这种表达形式称为三角级数形式。同时通过欧拉公式将三角形式变换为指数形式。
在这里插入图片描述

三角形式傅里叶级数

$f(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty }(a _{n}\cos (n\omega_{0}t)+b _{n}\sin (n\omega_{0}t))$
其中:
直流分量： $a_{0}=\frac{1}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}}f(t)dt$
余弦分量幅度： $a_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}}f(t)\cos(n\omega_{0}t)dt$
正弦分量幅度： $b_{n}=\frac{2}{T_{0}}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T_{0}}f(t)\sin(n\omega_{0}t)dt$