社区发现算法-Community Detection-NormalizeCut/Louvain/NMF/LPA

本文结构安排

• 图聚类简介

• 正则化割

• Louvain

• 非负矩阵分解（NMF）

• 其他常见方法

• 图(graph):是一种由点和边集构成的结构$G=(V,E)$

• 图聚类(graph clustering) : 将点划分为不同的簇，使得簇内的边尽量多，簇之间的边尽量少。也称为图划分(partitioning)，社区检查(community detection)

应用Louvain算法产生的社区检测图示

Normalized cut

正则化割的基本原理是使各簇之间的割最小，但不是算其最小割，因为这会使相对孤立的边缘点“自成一团”，造成社区大小的不均衡。算法的基本过程的前半部分类似于谱聚类，先由度矩阵和邻接矩阵，计算出拉普拉斯矩阵，得到第二小到K+1小的特征向量，对其进行K-means聚类，预处理得到k’个簇。之后，计算两两簇合并之后，计算其正则化割，选择正则化割最小的两个簇合并。每次合并减小一个簇，直到减小到K个簇。

k-路划分：

（1）计算相似度矩阵W和度矩阵D

（2）计算标准化拉普拉斯矩阵$D^{-\frac{1}{2}}(D-W)D^{-\frac{1}{2}}$

（3）从第二小的特征值开始找$k’$个最小的特征值对应的特征向量构造$n\cdot k\prime$维度的特征矩阵F

（4）对特征矩阵F按行进行标准化后，进行Kmeans聚类得到$k’$簇

（5）在这$k’$个簇中，每次选取两个簇进行合并，直到最后剩下k个簇，选取的策略是最小化Ncut时的合并组合

Louvain

Louvain算法的基本原理也是采用合并的策略，但是它合并的标准是模块度增益。首先将每个节点初始化为不同社区，计算将节点加入其邻居社区的模块度增益△Q，选择使模块度增益最大的邻居进行合并，合并后的社区看做一个新的节点，直到两两社区合并的模块度增益都不大于0，则停止合并。

Louvain算法步骤如下：

（1）初始化每个数据点为一个社区；

（2）对每个数据点，尝试加入其邻居所在的社区，计算比较加入前后的模块度增益ΔQ，选出增益最大的那个邻居社区，若其对应的增益ΔQ>0，则该数据点加入这个社区，否则不改变其原来社区划分；

（3）将得到的社区视为一个节点，社区内节点之间边权重转化为新节点环的权重，社区间的边权重转化为新节点间的边权重；

（4）重复（2）（3）步骤，直至满足收敛条件。

收敛条件可以是迭代了一定的次数，亦或是模块度不再增加。

NMF

NMF的基本原理是将原始矩阵分解得到社区指示矩阵和基矩阵，随机初始化这两个矩阵的元素，迭代更新这两个矩阵，更新规则如下：

最小化目标函数：

∣∣A−UVT∣∣F2||A-U