模型参考自适应系统（一）：MRAS问题

参考文献：
自适应控制，K.J.奥斯特隆姆,B.威顿马克.李清泉等译.1992，科学出版社.

4.1引言

MRAS是解决自适应控制问题的主要方法之一。框图如下：

调节器参数根据误差e的情况进行变更。图4.1中一个是内环，它是一个普通的反馈控制回路；另一个是外环，它调整内环中调节器参数。假定内环速度比外环速度快！

该图是Whitaker 1958年提出的MRAS原型，其引入两个概念：

1.系统的性能由参考模型规定；

2.调节器参数按照参考模型与系统之间的误差进行调节。

对象：

针对确定性连续时间系统的伺服控制问题，现扩展到离散时间系统和具有随机扰动的系统。

基本方法：

1.梯度法；2.Lyapunov函数；3.无缘性定理。

4.2 MARS问题

对于一个单输入单输出系统，连续时间模型为：

$$y\left(t\right)=\frac{B}{A}u\left(t\right)\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

$u$为控制信号，$y$为输出信号，$A$和$B$代表微分算子$p$的多项式，或者正向平移算子$q$的多项式。假设$A$和$B$互质，且deg($A$)>=deg($B$),假设多项式$A$首1。

我们需要求得调节器，使得指令信号$u_c$与希望得到的输出信号$y_m$之间的关系：

$$y_m\left(t\right)=\frac{B_m}{A_m}{u}_c\left(t\right)\text{\hspace{1em}(4.2)}$$

式中，$A_m$和$B_m$是微分算子$p$的多项式或正向平移算子$q$的多项式。

一般线性控制率可以描述为：

$$Ru=T{u}_c-Sy\text{\hspace{1em}(4.3)}$$

由式（4.1）和式（4.3)消去$u$，可得下列闭环系统方程

$$\left(AR+BS\right)y=BT{u}_c\text{\hspace{1em}(4.4)}$$

将多项式$B$分解为

$$B=B^{+}{B}^{-}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

其中，$B^{+}$包含可被对消的因子，$B^{-}$包含B中的其余因子。设$B^{+}$首一。

由式（4.4）可知，$AR+BS$这个特征多项式，必须把$A_m{B}^{-}$作为自己的因子，并且其次数要高于$A_m{B}^{-}$的次数；特征多项式的其余因子可以表示观测器的动力学特性。故其有三类因子，

1.由$B^{+}$给出的被对消的过程零点
2.由$A_m$给定的希望的模型极点
3.由观测器多项式$A_o$给出的观测器极点

故，
$$AR+BS=B^{+}{A}_o{A}_m\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

以上称为Diophantine方程（或者Bezout恒等式）。$B^{+}$能够除尽$R$,所以有

$$R=B^{+}{R}_1\text{\hspace{1em}(4.7)}$$

用$B^{+}$除尽式（4.6），得

$$A{R}_1+B^{-}S=A_o{A}_m\text{\hspace{1em}(4.8)}$$

根据式（4.2）和（4.4），得

$$\begin{gathered} B_m=B^{-}{B}_m^{{}^{\prime }} \\ T=A_o{B}_m^{{}^{\prime }}\text{\hspace{1em}(4.9)} \end{gathered}$$

式（4.8）有解的条件：

$$deg{A}_o⩾2degA-deg{A}_m-deg{B}^{+}-1\text{\hspace{1em}(4.10)}$$
$$deg{A}_m-deg{B}_m⩾degA-degB\text{\hspace{1em}(4.11)}$$