TK题库 1098 最少的交换（分治 归并排序 逆序数）

原题

最少的交换

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Description

现在给你一个由n个互不相同的整数组成的序列，现在要求你任意交换相邻的两个数字，使序列成为升序序列，请问最少的交换次数是多少？

Input

输入包含多组测试数据。每组输入第一行是一个正整数n（n<500000），表示序列的长度，当n=0时。
接下来的n行，每行一个整数a[i]（0<=a[i]<=999999999），表示序列中第i个元素。

Output

对于每组输入，输出使得所给序列升序的最少交换次数。

Sample Input

5
9
1
0
5
4
3
1
2
3
0

Sample Output

6
0

涉及知识及算法

逆序数

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

需要交换的最少次数为该序列的逆序数。

证明：把最大数交换到最后，相邻两个数交换，需要交换的次数为最大数后面的数的个数（逆序个数），去除最大数，当前最大数也要其逆序数次的交换。每个数都需要交换其逆序数次操作，则总最少交换次数为序列总体的逆序数。

归并排序

归并排序是将两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表，即把待排序序列分为若干个子序列，每个子序列是有序的，然后再把有序的子序列合并为整体。

有序序列归并排序是分治算法的一个典型的应用，而且是稳定的一种排序，这题利用归并排序的过程中，计算每个小区间的逆序数，进而得到大区间的逆序数。

代码

一：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAX=1000001;
int N;
//b为辅助排序数组
long long a[MAX],b[MAX];
long long cnt;
//合并两部分并计算合并部分逆序数
void Merge(long long a[],int Start,int Mid,int End)
{
    int i=Start,j=Mid+1,k=Start;
    while(i<=Mid&&j<=End)
    {
        if(a[i]<=a[j])
        {
            b[k++]=a[i++];
        }
        else
        {
            //小序列中逆序数计算
            //k的位置应该放j，但实则没有，共有j-k个数与j为逆序
            cnt+=j-k;
            b[k++]=a[j++];
        }
    }
    while(i<=Mid)
    {
        b[k++]=a[i++];
    }
    while(j<=End)
    {
        b[k++]=a[j++];
    }
    for(int i=Start;i<=End;i++)
    {
        a[i]=b[i];
    }
}
//归并排序
void MergeSort(long long a[],int Start,int End)
{
    if(Start<End)
    {
        int Mid=(Start+End)/2;
        MergeSort(a,Start,Mid);
        MergeSort(a,Mid+1,End);
        //此时已经排好序了
        Merge(a,Start,Mid,End);
    }
}
int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    while(cin>>N&&N)
    {
        cnt=0;
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            scanf("%lld",a+i);
        }
        MergeSort(a,0,N-1);
        printf("%lld\n",cnt);
    }
    return 0;
}

代码转载自优快云博主SevenMIT，链接http://blog.youkuaiyun.com/sevenmit/article/details/9081831，向他表示感谢。

二：

对于序列C（右半序列）的每个数字，统计在序列B中比它大的数字的个数，再把结果加起来就是总序列逆序数。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
vector<int> A;
int N;

ll merge_count(vector<int> &a)
{
    int n=a.size();
    if(n<=1)
    {
        return 0;
    }
    ll cnt =0;
    vector<int> b(a.begin(),a.begin()+n/2);
    vector<int> c(a.begin()+n/2,a.end());
    cnt+=merge_count(b);
    cnt+=merge_count(c);
    //此时b和c已经分别排好序了
    int ai=0,bi=0,ci=0;
    //合并两部分并计算逆序数
    while(ai<n)
    {
        if(bi<b.size()&&(ci==c.size()||b[bi]<=c[ci]))
        {
            a[ai++]=b[bi++];
        }
        else
        {
            //逆序数计算
            //如若bi>ci,则这在B序列中从bi开始到结束的数都比ci大
            //这些数的数量为n/2-bi
            cnt+=n/2-bi;
            a[ai++]=c[ci++];
        }
    }
    return cnt;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    int c;
    while(cin>>N&&N)
    {
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            scanf("%d",&c);
            A.push_back(c);
        }
        printf("%lld\n",merge_count(A));
        A.clear();
    }
    return 0;
}

注：此代码引自《挑战程序设计竞赛》（第二版）