计算机组成原理 第五章（计算机的运算方法）—第三节（定点运算（上））

写在前面：

1. 本系列笔记主要以《计算机组成原理（唐朔飞）》为参考，大部分内容出于此书，笔者的工作主要是挑其重点展示，另外配合下方视频链接的教程展开思路，在笔记中一些比较难懂的地方加以自己的一点点理解（重点基本都会有标注，没有任何标注的难懂文字应该是笔者因为强迫症而加进来的，可选择性地忽略）。

2. 视频链接：计算机组成原理（哈工大刘宏伟）135讲（全）高清_哔哩哔哩_bilibili

一、移位运算

1、概述

（1）移位运算在日常生活中很常见，例如15m可写成1500cm，单就数字而言，1500相当于数15相对于小数点左移了两位，并在小数点前面添了两个0，同样，15也相当于1500相对于小数点右移了两位，并删去了小数点后面的两个0。可见，当某个十进制数相对于小数点左移n位时相当于该数乘以，“右移”n位时相当于该数除以。

（2）计算机中小数点的位置是事先约定的，因此，二进制表示的机器数在相对于小数点做n位左移或右移时，其实质就是该数乘以或除以。

（3）移位运算称为移位操作，对计算机来说，移位运算有很大的实用价值，例如当某计算机没有乘（除）法运算线路时，可以采用移位和加法相结合，实现乘（除）运算。

（4）计算机中机器数的字长往往是固定的，当机器数左移n位或右移n位时，必然会使其n位低位或n位高位出现空位，那么，对空出的空位应该添补0还是1，这与机器数采用有符号数还是无符号数有关。对有符号数的移位称为算术移位，对无符号数的移位称为逻辑移位。

2、算术移位规则

（1）不同码制机器数算术移位后的空位添补规则：

真值	码制	添补代码
正数	原码、反码、补码	0
负数	原码	0
	补码	左移添0
		右移添1
	反码	1

①机器数为正时，不论是左移还是右移，添补代码均为0。

②机器数为负时，三种机器数算术移位后符号位均不变。

[1]由于负数的原码数值部分与真值相同，故在移位时只要使符号位不变，其空位均添0即可。

[2]由于负数的反码各位除符号位外与负数的原码正好相反，故移位后所添的代码应与原码相反，即全部添1。

[3]分析任意负数的补码可发现，当对其由低位向高位找到第一个“1”时，在此“1”左边的各位均与对应的反码相同，而在此“1”右边的各位（包括此“1”在内）均与对应的原码相同。故负数的补码左移时，因空位出现在低位，则添补的代码与原码相同，即添0；右移时因空位出现在高位，则添补的代码应与反码相同，即添1。

③负数的原码左移时若高位丢1，结果出错；右移时若低位丢1，影响结果精度。负数的补码左移时若高位丢0，结果出错；右移时若低位丢1，影响结果精度。负数的反码左移时若高位丢0，结果出错；右移时若低位丢0，影响结果精度。

（2）举例：对-26移位后的结果如下。

移位操作	机器数		对应的真值
移位前	原码	1,0011010	-26
左移一位		1,0110100	-52
左移两位		1,1101000	-104
右移一位		1,0001101	-13
右移两位		1,0000110	-6
移位前	补码	1,1100110	-26
左移一位		1,1001100	-52
左移两位		1,0011000	-104
右移一位		1,1110011	-13
右移两位		1,1111001	-7
移位前	反码	1,1100101	-26
左移一位		1,1001011	-52
左移两位		1,0010111	-104
右移一位		1,1110010	-13
右移两位		1,1111001	-6

3、算术移位和逻辑移位比较

（1）逻辑移位的规则是：逻辑左移时高位移丢，低位添0；逻辑右移时低位移丟，高位添0。

（2）例如，寄存器内容为01010011，逻辑左移为10100110，算术左移为00100110（最高数位“1”移丢）；又如，寄存器内容为10110010，逻辑右移为01011001，若将其视为补码，算术右移为11011001。

二、加法与减法运算

1、补码加减运算的基本公式

（1）补码加法的基本公式：

（2）补码减法的基本公式：

（3）举例：

2、溢出判断

（1）用一位符号位判断溢出：

①对于加法，只有在正数加正数和负数加负数两种情况下才可能出现溢出，符号不同的两个数相加是不会溢出的；对于减法，只有在正数减负数或负数减正数两种情况下才可能出现溢出，符号相同的两个数相减也是不会溢出的。

②以机器字长为4位（含1位符号位）为例，机器字长为4位的补码所对应的真值范围为，运算结果一旦超过这个范围即为溢出。

③由于减法运算在机器中是用加法器实现的，因此不论是作加法还是减法，只要实际参加操作的两个数（减法时即为被减数和“求补”以后的减数）符号相同，结果又与原操作数的符号不同，即为溢出。

（2）用两位符号位判断溢出：

①两位符号位的补码即变形补码，它是以4为模的，其定义为：

②在用变形补码作加法时，两位符号位要连同数值部分一起参加运算，而且高符号位产生的进位自动丢失，便可得到正确结果。

③变形补码判断溢出的原则是：当两位符号位不同时表示溢出，否则无溢出。不论是否发生溢出，高位（第1位）符号位永远代表真正的符号。

3、补码定点加减法所需的硬件配置

（1）下图所示的是实现补码定点加减法的基本硬件配置框图，图中寄存器A、X、加法器的位数相等，其中A存放被加数（或被减数）的补码，X存放加数（或减数）的补码。

（2）为加法标记，为减法标记。当作减法时，由“求补控制逻辑”将送至加法器，并使加法器的最末位外来进位加1，以达到对减数求补的目的。

（3）运算结果溢出时，通过溢出判断电路置“1”溢出标记V。

4、补码加减运算控制流程

（1）加（减）法运算前，被加（减）数的补码在A中，加（减）数的补码在X中。

（2）若是加法，直接完成(A)+(X)→A（mod 2或mod ）的运算；若是减法，则需对减数求补，再和A寄存器的内容相加，结果送A。

（3）最后完成溢出判断。