【优选算法】D&C-Quicksort-Mysteries：分治-快排的算法之迷

本篇是优选算法之分治-快排，快排可以在更短的时间内完成相同规模数据的排序任务，大大提升了运算效率，空间复杂度在平均状况下仅为O(log N)

1.概念解析

🚩什么是分治-快排？

分治是核心思想，即将大问题拆解成形式相同的小问题来处理，从待排序数组里挑出一个元素当作基准，设置两个指针，一个从数组开头，一个从末尾出发，先把一个无序的数组划分成两个子数组，接着分别处理这两个子数组，随着递归深入，子数组越来越小，最终每个子数组只剩 1 个元素时，天然有序，整个大数组也就完成排序

2.颜色分类

✏️题目描述：

✏️示例：

传送门：颜色分类

题解:

对于排序的题目，根据前些的学习我们一般都是想到冒泡排序等基础算法，但是此类算法对于带有重复性的排序很不友好，还是太慢了，因此对于这道题，也是一道经典的荷兰国旗问题，使用类似双指针算法中的移动零那道题的方法，划分区间比较排序，衍生出来了一种三划分排序算法，也叫作快速排序

💻第一步：

首先我们这题要排序的是0、1、2三个数字，所以划分为三个区间，分别是小于1的区间，等于1的区间，大于1的区间。left表示标记左区间的指针，i表示扫描区间指针，right表示标记右区间的指针

💻第二步：

前提条件left = -1, right = n，根据i扫描的区间，可以分为三种情况：如果遇到0，要放在左区间，left先++，和i所指的元素互换，然后i++扫描下一个元素；如果遇到1，本来就要放在中间区间，所以不用操作，i++扫描下一个元素；如果遇到2，要放在右区间，right先--，和i所指的元素互换，注意i不能++，因为此时交换过来的元素还没扫描过，要再判断一次。right和i相遇时停止扫描

💻代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

class Solution 
{
public:
    void sortColors(vector<int>& nums) 
    {
        int n = nums.size();
        int left = -1, right = n, i = 0;
        while (i < right)
        {
            if (nums[i] == 0)
            {
                swap(nums[++left], nums[i++]);
            }
            else if(nums[i] == 2)
            {
                swap(nums[--right], nums[i]);
            }
            else
            {
                i++;
            }
        }
    }
};

3.排序数组

✏️题目描述：

✏️示例：

传送门：排序数组

题解:

本题其实和三色划分的道理是相同的，只不过该题才是真正的将快速排序的方法效率最大化，能普及到大部分的题目上，重点是要选取基准元素划分区间

💻第一步：

根据算法导论的期望严谨证明，发现用随机的方式选取基准元素是最优的算法，因此我们可以使用rand()随机函数，最开始调用qsort时，此时计算随机数的范围就是基于 [l, r] 这个初始区间，left作为基准偏移，让随机选取的索引能落在这个完整初始区间内

💻第二步：

既然已经选取完基准元素，那么划分的过程和三色划分是一样的，此时要注意，第一轮划分完后，left在基准元素左边一位，right在基准元素右边一位，此时就完成了两个字区间的划分，但是左右两个区间只是大于或小于，区间内的数据排序还是乱的，所以还要对左右两个区间进行相同的排序，依次往复，每次排序都能确定一个基准元素的位置

💻代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <ctime>
using namespace std;

class Solution {
public:
    vector<int> sortArray(vector<int>& nums) 
    {
        srand(time(NULL));
        qsort(nums, 0, nums.size() - 1);
        return nums;
    }

    void qsort(vector<int>& nums, int l, int r)
    {
        if (l >= r)
            return;
        int key = getRandom(nums, l, r);
        int i = l, left = l - 1, right = r + 1;
        while (i < right)
        {
            if (nums[i] < key)
            {
                swap(nums[++left], nums[i++]);
            }
            else if (nums[i] > key)
            {
                swap(nums[--right], nums[i]);
            }
            else
            {
                i++;
            }
        }
        qsort(nums, l, left);
        qsort(nums, right, r);
    }

    int getRandom(vector<int>& nums, int left, int right)
    {
        int r = rand();
        return nums[r % (right - left + 1) + left];
    }
};

4.数组中的第k个最大元素

✏️题目描述：

✏️示例：

传送门：数组中的第k个最大元素

题解:

本题要求找数组中的第k个最大元素，本质是快速排序算法中的快速选择算法，该方法同样适用第k小，前k大，前k小

💻细节问题：

快速选择算法和快速排序基本上一样，唯一不同的是要在递归时选择区间，若c>=k，说明第k大落在大于基准元素的这段区间，那么只在这段区间寻找即可；若b+c>=k，说明第k大就在等于基准元素这段区间，即等于基准元素；若前面两种都不成立，那么第k大一定落在比基准元素小的区间，因此在整个区间上找第k大相当于在左区间上找第k-b-c大

💻代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <ctime>
using namespace std;

class Solution 
{
public:
    int findKthLargest(vector<int>& nums, int k) 
    {
        srand(time(NULL));
        return qsort(nums, 0, nums.size() - 1, k);
    }

    int qsort(vector<int> nums, int l, int r, int k)
    {
        if (l == r) return nums[l];
        int key = getRandom(nums, l, r);
        int left = l - 1, right = r + 1, i = l;
        while (i < right)
        {
            if (nums[i] < key)
            {
                swap(nums[++left], nums[i++]);
            }
            else if (nums[i] > key)
            {
                swap(nums[--right], nums[i]);
            }
            else
            {
                i++;
            }
        }

        int c = r - right + 1, b = right - left - 1;
        if (c >= k)
        {
            return qsort(nums, right, r, k);
        }
        else if (c + b >= k)
        {
            return key;
        }
        else
        {
            return qsort(nums, l, left, k - b - c);
        }
    }

    int getRandom(vector<int> nums, int left, int right)
    {
        int r = rand();
        return nums[r % (right - left + 1) + left];
    }
};

5.库存管理Ⅲ

✏️题目描述：

✏️示例：

传送门：库存管理Ⅲ

题解:

这题其实也是一样的，要求一个区间内的数，只要求第k个数的位置，然后计算这个区间间的长度就行了

💻代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <ctime>
using namespace std;

class Solution 
{
public:
    vector<int> inventoryManagement(vector<int>& stock, int cnt)
    {
        srand(time(NULL));
        qsort(stock, 0, stock.size() - 1, cnt);
        return { stock.begin(),stock.begin() + cnt };
    }

    void qsort(vector<int>& stock, int l, int r, int cnt)
    {
        if (l >= r) return;
        int key = getRandom(stock, l, r);
        int left = l - 1, right = r + 1, i = l;
        while (i < right)
        {
            if (stock[i] < key)
            {
                swap(stock[++left], stock[i++]);
            }
            else if (stock[i] > key)
            {
                swap(stock[--right], stock[i]);
            }
            else
            {
                i++;
            }
        }

        int a = left - l + 1, b = right - left - 1;
        if (a > cnt)
        {
            return qsort(stock, l, left, cnt);
        }
        else if (a + b >= cnt)
        {
            return;
        }
        else
        {
            return qsort(stock, right, r, cnt - b - a);
        }
    }

    int getRandom(vector<int>& stock, int l, int r)
    {
        return stock[rand() % (r - l + 1) + l];
    }
};

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