【MST】最小生成树prim 算法原理及实现

以下参考《信息学竞赛一本通 提高篇》

前置知识点：

1、生成树：

在一个|V| 个点的无向联通图中，取其中|V|-1条边，并链接所有的顶点，所得到的子图称为原图的一颗生成树。

2、树的属性:

树是图的一种特殊形态。图G是树当且仅当一下任意一个条件成立

1、G有|V|-1条边，无环。

2、G有|V|-1条边，连通。

3、任意两点之间只有唯一的简单路径

4、G连通，但任意删除一条边后就不连通。

3、最小生成树

在一个带权的无向连通图中，各边权和最小的一颗生成树即为原图的最小生成树

4、最小边原则

图中权值最小的边（如果唯一的话）一定在最小生成树上。

5、唯一性定理

对于一个图G，如果图中的边权值都不相同，则图的最小生成树是唯一的，反之不然。

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prim算法：

【算法思想】：

        prim算法是一种贪心算法，它最初将无向连通图G中所有顶点V分成两个顶点集合VA和Va，在计算过程中VA中的点为已经选好连接入生成树的点，否则属于VB。最开始的时候VA只包含任意选取的图G中的一个点u，其余的点属于VB，每次添加一个VB中的点到VA，该点是集合VB到集合VA中距离最小的一个点。直到V个顶点全部属于VA，算法结束。显然出发点不同，最小生成树的形态就不同，但边权和的最小值是唯一的。

【算法步骤】：

        选定图中的任意一个顶点V0，从V0开始生成最小生成树；

        （1）、初始化dis[ v0 ] =0 ，其他点的距离值 dis [ i ] =∞。其中 dis [ i ] 表示集合VB中的点到VA中的点的距离值。

        （2）、