slope trick

例1 CF713c

给你$n$个整数$a_i$，每次可以消耗$1$的代价使某一个数$+1$或者$-1$，让你求出使得$a_i$不下降的最小代价

$$n\le 1e5$$

$solution$：

考虑$dp$，设$f_{i,j}$表示让第$i$个数变成$j$，前$i$个数已经不下降的最小代价，转移比较简单，$f_{i,j}={\min }_{k\le j}{f}_{i-1,k}+|a_i-j|$，设$g_{i,j}={\min }_{k\le j}{f}_{i,k}$，则有$f_{i,j}=g_{i,j}+|a_i-j|$，时间复杂度为$O(nv)$，其中$v$为值域大小
如果我们把$f_i$看成一个关于$j$的函数的话，$f_i$一定是一个凸函数，归纳证明，$f_{i-1}$是凸函数，gi−1g_{i-1}