动态规划之方格取数

题目描述

设有N×N的方格图(N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字0。
某人从图的左上角的AA点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的BB点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。
此人从（0， 0）点到（n，n）点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入输出格式
输入格式：
输入的第一行为一个整数N（表示N×N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。
如：
8
6 1 7
3 2 9
2 3 5
1 4 3
3 4 3
6 6 6
1 7 1
0 0 0

输出格式：
输出文件仅包含一个数，表示所有人都渡过河的最少渡河时间

思路

【算法分析】
一个四重循环枚举两条路分别走到的位置。

a[i][j]表示(i,j)格上的值，sum[i][j][h][k]表示第一条路走到(i,j)，第二条路走到(h,k)时的最优解。

例如，sum[i][j][h][k] = max{sum[i][j][h][k], sum[i-1][j][h-1][k] + a[i][j] + a[h][k]}，表示两点均从上面位置走来。

当(i,j) <> (h,k)）时 表示两条路来到 （i，j） 和 （h，k）两点时 这两条路走过的最优解

来到这两个点这个位置 , 每个点有 左 和 上 两个来的方向 那么一共有四种组合 取其中最大的一种
再加上这两个点的值 那就是这两条路 走到这两个点的 最优解

sum[i][j][h][k]:=max{sum[i-1][j][h-1][k],sum[i][j-1][h][k-1],sum[i-1][j][h][k-1],sum[i][j-1][h-1][k]}+a[i][j]+a[h][k];

同理，如果两个点坐标相等 也就意味着 这两条路都经过这个点 这是两条路的交点
根据题目意思 一个点经过后 要拿走 那么就 加一遍就行

当(i,j) = (h,k)时
sum[i][j][h][k]:=max{sum[i-1][j][h-1][k],sum[i][j-1][h][k-1],sum[i-1][j][h][k-1],sum[i][j-1][h-1][k]}+a[i][j];

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std; 

const int N = 15;
int dp[N][N][N][N];
int w[N][N];
int n;

int max1(int a,int b,int c,int d)
{
	int max2;
	max2=max(a,b);
	max2=max(max2,c);
	max2=max(max2,d);
	return max2;
}

int main(int argc, char** argv) 
{
	int a, b ,c;
	cin>>n;
	
	do 
	{
		cin>>a>>b>>c;
		w[a][b] = c;
	}while(a&&b&&c);
	
	
	for(int i1 = 1; i1 <= n; i1++)
	for(int j1 = 1; j1 <= n; j1++)
		for(int i2 = 1; i2 <= n; i2++)
		for(int j2 = 1; j2 <= n; j2++)
		{
		//这里分别取四个状态的最大值
			dp[i1][j1][i2][j2] = 
			max1(dp[i1-1][j1][i2-1][j2],dp[i1-1][j1][i2][j2-1],dp[i1][j1-1][i2-1][j2],dp[i1][j1-1][i2][j2-1]);
		
			//如果走的重复的话
			if(i1 == i2 && j1 == j2)
			{
				dp[i1][j1][i2][j2] += w[i1][j1];
			}
			else
			{
				dp[i1][j1][i2][j2] += w[i1][j1] + w[i2][j2];
			}
		}
	
	
	
	cout<<dp[n][n][n][n]<<endl;
	return 0;
}