网络流之SAP算法学习

网络流之SAP算法学习

终于决定开始学习网络流了=.=

<<图论算法理论、实践与应用>>那本书讲了很多关于求最大流的算法，然后我就只挑了一种传说中神奇的SAP算法学习。

首先引入几个新名词：

1、距离标号：

所谓距离标号 ，就是某个点到汇点的最少的弧的数量（即边权值为1时某个点到汇点的最短路径长度）。

设点i的标号为level[i]，那么如果将满足level[i]=level[j]+1的弧(i,j)叫做允许弧 ，且增广时只走允许弧。

2、断层（本算法的Gap优化思想）：

gap[i]数组表示距离标号为i的点有多少个，如果到某一点没有符合距离标号的允许弧，那么需要修改距离标号来找到增广路；

如果重标号使得gap数组中原标号数目变为0，则算法结束。

SAP算法框架：

1、初始化；

2、不断沿着可行弧找增广路。可行弧的定义为{( i , j ) , level[i]==level[j]+1};

3、当前节点遍历完以后，为了保证下次再来的时候有路可走，重新标号当前距离，level[i]=min(level[j]+1);

该算法最重要的就是gap常数优化了。

下面对hdu 1532贴上模版：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1532

邻接矩阵：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 #define MAXN 222
 6 #define inf 100000000+1000
 7 int map[MAXN][MAXN];//存图
 8 int pre[MAXN];//记录当前点的前驱
 9 int level[MAXN];//记录距离标号
10 int gap[MAXN];//gap常数优化
11 int NV,NE;
12 
13 //入口参数vs源点，vt汇点
14 int SAP(int vs,int vt){
15     memset(pre,-1,sizeof(pre));
16     memset(level,0,sizeof(level));
17     memset(gap,0,sizeof(gap));
18     gap[0]=vt;
19     int v,u=pre[vs]=vs,maxflow=0,aug=inf;
20     while(level[vs]<vt){
21         //寻找可行弧
22         for(v=1;v<=vt;v++){
23             if(map[u][v]>0&&level[u]==level[v]+1){
24                 break;
25             }
26         }
27         if(v<=vt){
28             pre[v]=u;
29             u=v;
30             if(v==vt){
31                 aug=inf;
32                 //寻找当前找到的一条路径上的最大流  
33                 for(int i=v;i!=vs;i=pre[i]){
34                     if(aug>map[pre[i]][i])aug=map[pre[i]][i];
35                 }
36                 maxflow+=aug;
37                 //更新残留网络
38                 for(int i=v;i!=vs;i=pre[i]){
39                     map[pre[i]][i]-=aug;
40                     map[i][pre[i]]+=aug;
41                 }
42                 u=vs;//从源点开始继续搜
43             }
44         }else {
45             //找不到可行弧
46             int minlevel=vt;
47             //寻找与当前点相连接的点中最小的距离标号
48             for(v=1;v<=vt;v++){
49                 if(map[u][v]>0&&minlevel>level[v]){
50                     minlevel=level[v];
51                 }
52             }
53             gap[level[u]]--;//(更新gap数组）当前标号的数目减1；
54             if(gap[level[u]]==0)break;//出现断层
55             level[u]=minlevel+1;
56             gap[level[u]]++;
57             u=pre[u];
58         }
59     }
60     return maxflow;
61 }
62 
63 int main(){
64     int n,m,u,v,cap;
65     while(~scanf("%d%d",&m,&n)){
66         memset(map,0,sizeof(map));
67         for(int i=1;i<=m;i++){
68             scanf("%d%d%d",&u,&v,&cap);
69             map[u][v]+=cap;
70         }
71         printf("%d\n",SAP(1,n));
72     }
73     return 0;
74 }