2023 CSP-J 题解

CSP-J 2023年题解

小苹果

题目描述

小 Y 的桌子上放着 $n$ 个苹果从左到右排成一列，编号为从 $1$ 到 $n$。

小苞是小 Y 的好朋友，每天她都会从中拿走一些苹果。

每天在拿的时候，小苞都是从左侧第 $1$ 个苹果开始、每隔 $2$ 个苹果拿走 $1$ 个苹果。随后小苞会将剩下的苹果按原先的顺序重新排成一列。

小苞想知道，多少天能拿完所有的苹果，而编号为 $n$ 的苹果是在第几天被拿走的？

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 $n$，表示苹果的总数。

输出格式

输出一行包含两个正整数，两个整数之间由一个空格隔开，分别表示小苞拿走所有苹果所需的天数以及拿走编号为 $n$ 的苹果是在第几天。

输入输出样例 #1

输入 #1

8

输出 #1

5 5

说明/提示

【样例 $1$ 解释】

小苞的桌上一共放了 $8$ 个苹果。
小苞第一天拿走了编号为 $1$、$4$、$7$ 的苹果。
小苞第二天拿走了编号为 $2$、$6$ 的苹果。
小苞第三天拿走了编号为 $3$ 的苹果。
小苞第四天拿走了编号为 $5$ 的苹果。
小苞第五天拿走了编号为 $8$ 的苹果。

【样例 $2$】

见选手目录下的 apple/apple2.in 与 apple/apple2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据有：$1\le n\le 10^9$。

测试点	$n\le$	特殊性质
$1\sim 2$	$10$	无
$3\sim 5$	$10^3$	无
$6\sim 7$	$10^6$	有
$8\sim 9$	$10^6$	无
$10$	$10^9$	无

特殊性质：小苞第一天就取走编号为 $n$ 的苹果。

解题思路

每隔两个拿走一个，换一种说法，就是当 $index\mathrm{mod}3=1$ 的时候，第 $index$ 个苹果会被拿走。

所以如果某一天只剩下了 $m$ 个苹果，并且 $m\mathrm{mod}3=1$ 的时候，第 $n$ 个苹果就被拿走了。至于计算每天被拿走的苹果数量，我们用这个公式来计算。

$$num=\lceil m/3\rceil$$

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int n, ans1, ans2;

int main()
{
    cin >> n;
    while (n)
    {
        ans1++;
        if (n % 3 == 1 && ans2 == 0) // 看看啥时候取最后一个
            ans2 = ans1; 
        n -= n / 3 + (int)(n % 3 != 0); // 记得向上取整
    }
    cout << ans1 << " " << ans2 << '\n';
    return 0;
}

因为每次大概要少 $\frac{1}{3}$ 的苹果，所以时间复杂度就是 $log$ 级别。

公路

题目描述

小苞准备开着车沿着公路自驾。

公路上一共有 $n$ 个站点，编号为从 $1$ 到 $n$。其中站点 $i$ 与站点 $i+1$ 的距离为 $v_i$ 公里。

公路上每个站点都可以加油，编号为 $i$ 的站点一升油的价格为 $a_i$ 元，且每个站点只出售整数升的油。

小苞想从站点 $1$ 开车到站点 $n$，一开始小苞在站点 $1$ 且车的油箱是空的。已知车的油箱足够大，可以装下任意多的油，且每升油可以让车前进 $d$ 公里。问小苞从站点 $1$ 开到站点 $n$，至少要花多少钱加油？

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $n$ 和 $d$，分别表示公路上站点的数量和车每升油可以前进的距离。

输入的第二行包含 $n-1$ 个正整数 $v_1,v_2\dots v_{n-1}$，分别表示站点间的距离。

输入的第三行包含 $n$ 个正整数 $a_1,a_2\dots a_n$，分别表示在不同站点加油的价格。

输出格式

输出一行，仅包含一个正整数，表示从站点 $1$ 开到站点 $n$，小苞至少要花多少钱加油。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 4
10 10 10 10
9 8 9 6 5

输出 #1

79

说明/提示

【样例 1 解释】

最优方案下：小苞在站点 $1$ 买了 $3$ 升油，在站点 $2$ 购买了 $5$ 升油，在站点 $4$ 购买了 $2$ 升油。

【样例 2】

见选手目录下的 road/road2.in 与 road/road2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据保证：$1\le n\le 10^5$，$1\le d\le 10^5$，$1\le v_i\le 10^5$，$1\le a_i\le 10^5$。

测试点	$n\le$	特殊性质
$1\sim 5$	$8$	无
$6\sim 10$	$10^3$	无
$11\sim 13$	$10^5$	A
$14\sim 16$	$10^5$	B
$17\sim 20$	$10^5$	无

• 特殊性质 A：站点 $1$ 的油价最低。
• 特殊性质 B：对于所有 $1\le i<n$，$v_i$ 为 $d$ 的倍数。

解题思路

简单贪心题，我们从站点一运动到站点 $n$，车可以装任意多的油并且加油站里面的油也足够多，问最少花多少钱。

我们很简单就能想到，每次我们加油，只需要保证可以到达距离当前加油站最近，并且比当前加油站更便宜的其他加油站即可。

因为我们在当前加油站加油不如走到更便宜的加油站之后再加。

本题代码要比思路难搞。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long // 这里偷懒了，大家不要向我学习

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 5;
int n, d;
int v[maxn], a[maxn];

signed main()
{
    cin >> n >> d;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        cin >> v[i], v[i] += v[i - 1]; // 把 v 变成从起点走到某一个点的距离
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i]; 
    int ans = 0, res = 0; // 因为只能买整数单位油，所以有可能走到第 i 个加油站之后还能再往前走一走，这里的 res 记录的是多往前走的距离
    int pre = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (a[i] < a[pre]) // 发现了比上一个加油站更便宜的
        {
            int gas = (v[i] - v[pre] - res + d - 1) / d; // 走到当前加油站需要多少油，注意上取整
            ans += gas * a[pre]; // 买这些油需要多少钱
            res = gas * d + res - (v[i] - v[pre]);
            pre = i;
        }
    }
    if (pre != n) // 最后在第 pre 个加油站加油直接走到 n
    {
        int gas = (v[n] - v[pre] - res + d - 1) / d;
        ans += gas * a[pre];
        res = gas * d + res - (v[n] - v[pre]);
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}

一元二次方程

题目背景

众所周知，对一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0,(a\ne 0)$，可以用以下方式求实数解：

• 计算 $\Delta =b^2-4ac$，则:
  1. 若 $\Delta <0$，则该一元二次方程无实数解。
  2. 否则 $\Delta \ge 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$。

例如：

• $x^2+x+1=0$ 无实数解，因为 $\Delta =1^2-4\times 1\times 1=-3<0$。
• $x^2-2x+1=0$ 有两相等实数解 $x_{1,2}=1$。
• $x^2-3x+2=0$ 有两互异实数解 $x_1=1,x_2=2$。

在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd (a,b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd (12,18)=6$。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 $a,b,c$，其中 $a,b,c$ 均为整数且 $a\ne 0$。你需要判断一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则：

• 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$，满足 $q>0$，$\gcd (p,q)=1$ 且 $v=\frac{p}{q}$。

• 若 $q=1$，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 $n$ 的值；

• 例如：

  • 当 $v=-0.5$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出 -1/2；
  • 当 $v=0$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若 $\Delta =b^2-4ac<0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；

2. 否则 $\Delta \ge 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $x$，则：

   1. 若 $x$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $x$。

   2. 否则根据上文公式，$x$ 可以被唯一表示为 $x=q_1+q_2\sqrt{r}$ 的形式，其中：

      • $q_1,q_2$ 为有理数，且 $q_2>0$；

      • $r$ 为正整数且 $r>1$，且不存在正整数 $d>1$ 使 $d^2\mid r$（即 $r$ 不应是 $d^2$ 的倍数）；

   此时：

   1. 若 $q_1\ne 0$，则按有理数的格式输出 $q_1$，并再输出一个加号 +；
   2. 否则跳过这一步输出；

   随后：

   1. 若 $q_2=1$，则输出 sqrt({r})；
   2. 否则若 $q_2$ 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
   3. 否则若 $q_3=\frac{1}{q_2}$ 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
   4. 否则可以证明存在唯一整数 $c,d$ 满足 $c,d>1,\gcd (c,d)=1$ 且 $q_2=\frac{c}{d}$，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；

   上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。

   如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $T,M$，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $a,b,c$。

输出格式

输出 $T$ 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

输入输出样例 #1

输入 #1

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

输出 #1

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

说明/提示

【样例 #2】

见附件中的 uqe/uqe2.in 与 uqe/uqe2.ans。

【数据范围】

对于所有数据有：$1\le T\le 5000$，$1\le M\le 10^3$，$|a|,|b|,|c|\le M$，$a\ne 0$。

测试点编号	$M\le$	特殊性质 A	特殊性质 B	特殊性质 C
$1$	$1$	是	是	是
$2$	$20$	否	否	否
$3$	$10^3$	是	否	是
$4$	$10^3$	是	否	否
$5$	$10^3$	否	是	是
$6$	$10^3$	否	是	否
$7,8$	$10^3$	否	否	是
$9,10$	$10^3$	否	否	否

其中：

• 特殊性质 A：保证 $b=0$；
• 特殊性质 B：保证 $c=0$；
• 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

解题思路

纯纯的模拟题，做这种题的时候一定要理清思路，模块化你的代码，方便调试。

具体思路看下面代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long // 偷懒了

using namespace std;

int T, m;
int a, b, c;
int F; // F 判断左边输出了没

int delta(int a, int b, int c) // 计算 Δ
{
    return b * b - 4 * a * c;
}

int gcd(int x, int y) // 两个数字的最大公约数
{
    if (y == 0)
        return x;
    return gcd(y, x % y);
}

void left() // 计算 -b/2a
{
    int d = delta(a, b, c), p, q;
    p = -b;
    q = 2 * a;
    if ((int)sqrt(d) * (int)sqrt(d) == d) // 如果 Δ 可以被开方就直接加到 -b 里面
        if (a > 0)
            p += sqrt(d);
        else
            p -= sqrt(d);
    int f = 1; // 通过除号上下两部分判断整体的正负
    if (p < 0) f = -f;
    if (q < 0) f = -f;
    p = abs(p); // 取绝对值，方便输出
    q = abs(q);
    if (p == 0) // 左边是 0 不用输出
    {
        F = 1; // 标记一下
        return ;
    }
    if (p % q == 0) //可以被整除
        cout << f * p / q;
    else
    {
        int g = gcd(p, q); // 化简后输出
        cout << f * p / g << "/" << q / g;
    }
}

void right() // +/-sqrt(Δ)/2a
{
    int d = delta(a, b, c), f = 1; // 用 f 判断正负
    if ((int)sqrt(d) * (int)sqrt(d) == d) // 如果可以被开方，说明 left 函数已经计算过一次了，直接结束
    {
        if (F == 1) // 左边没输出，说明结果是 0
            cout << 0;
        return ;
    }
    if (a < 0) 
        f = -1;
    int k = 1, q = abs(2 * a);
    for (int i = 2; i <= sqrt(d); i++) // 尝试对 Δ 进行开方，把整数提出来
        while (d % (i * i) == 0)
        {
            k *= i;
            d /= i * i;
        }
   	// 我们要注意一点，题目让我们输出较大值，那么当 2a 是负数，sqrt(Δ) 前面也是负号，当 2a 是正数，sqrt(Δ) 前面就是 + 号，所以无论如何都该输出 "+"
    if (F == 0) // 左边如果输出了，那么我们用符号进行连接
        cout << "+";  
    int g = gcd(k, q); // 求最大公约数方便化简
    if (k != g)
        cout << k / g << "*"; // 整除
    cout << "sqrt(" << d << ")"; 
    if (q != g) // 看看 2a 是不是需要化简
        cout << "/" << q / g;
    return ;
}

signed main()
{
    cin >> T >> m;
    while (T--) // 多组数据
    {
        cin >> a >> b >> c;
        int d = delta(a, b, c);
        if (d < 0)
        {
            cout << "NO" << '\n';
            continue;
        }
        left();
        right();
        F = 0;
        cout << '\n';
    }
    return 0;
}

旅游巴士

题目描述

小 Z 打算在国庆假期期间搭乘旅游巴士去一处他向往已久的景点旅游。

旅游景点的地图共有 $n$ 处地点，在这些地点之间连有 $m$ 条道路。其中 $1$ 号地点为景区入口，$n$ 号地点为景区出口。我们把一天当中景区开门营业的时间记为 $0$ 时刻，则从 $0$ 时刻起，每间隔 $k$ 单位时间便有一辆旅游巴士到达景区入口，同时有一辆旅游巴士从景区出口驶离景区。

所有道路均只能单向通行。对于每条道路，游客步行通过的用时均为恰好 $1$ 单位时间。

小 Z 希望乘坐旅游巴士到达景区入口，并沿着自己选择的任意路径走到景区出口，再乘坐旅游巴士离开，这意味着他到达和离开景区的时间都必须是 $k$ 的非负整数倍。由于节假日客流众多，小 Z 在旅游巴士离开景区前只想一直沿着景区道路移动，而不想在任何地点（包括景区入口和出口）或者道路上停留。

出发前，小 Z 忽然得知：景区采取了限制客流的方法，对于每条道路均设置了一个
“开放时间”$a_i$，游客只有不早于 $a_i$ 时刻才能通过这条道路。

请帮助小 Z 设计一个旅游方案，使得他乘坐旅游巴士离开景区的时间尽量地早。

输入格式

输入的第一行包含 3 个正整数 $n,m,k$，表示旅游景点的地点数、道路数，以及旅游巴士的发车间隔。

输入的接下来 $m$ 行，每行包含 3 个非负整数 $u_i,v_i,a_i$，表示第 $i$ 条道路从地点 $u_i$ 出发，到达地点 $v_i$，道路的“开放时间”为 $a_i$。

输出格式

输出一行，仅包含一个整数，表示小 Z 最早乘坐旅游巴士离开景区的时刻。如果不存在符合要求的旅游方案，输出 -1。

输入输出样例 #1

输入 #1

5 5 3
1 2 0
2 5 1
1 3 0
3 4 3
4 5 1

输出 #1

6

说明/提示

【样例 #1 解释】

小 Z 可以在 $3$ 时刻到达景区入口，沿 $1\to 3\to 4\to 5$ 的顺序走到景区出口，并在 $6$ 时刻离开。

【样例 #2】

见附件中的 bus/bus2.in 与 bus/bus2.ans。

【数据范围】

对于所有测试数据有：$2\le n\le 10^4$，$1\le m\le 2\times 10^4$，$1\le k\le 100$，$1\le u_i,v_i\le n$，$0\le a_i\le 10^6$。

测试点编号	$n\le$	$m\le$	$k\le$	特殊性质
$1\sim 2$	$10$	$15$	$100$	$a_i=0$
$3\sim 5$	$10$	$15$	$100$	无
$6\sim 7$	$10^4$	$2\times 10^4$	$1$	$a_i=0$
$8\sim 10$	$10^4$	$2\times 10^4$	$1$	无
$11\sim 13$	$10^4$	$2\times 10^4$	$100$	$a_i=0$
$14\sim 15$	$10^4$	$2\times 10^4$	$100$	$u_i\le v_i$
$16\sim 20$	$10^4$	$2\times 10^4$	$100$	无

解题思路

动态规划 + 最短路，在我们建完这个有向图之后，我们需要考虑一下状态转移的问题。

当我们从一个点转移到另外一个点，然后发现因为开放时间的问题，我们没有办法进行移动的时候。我们可以将时间加上若干个 k，也就相当于我晚几个时间 k 进入景点，这样的话就合法了。

我们令 $dp[i][j]$ 表示从起点出发到达 $i$ 号点，花费时间 $\%k$ 等于 $j$ 所需要花费的最小时间，那么我们要求的最终答案就是 $dp[n][0]$。

我们可以用类似于 dijkstra 的操作（spfa应该也行）来进行状态转移。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long // 偷懒了
#define INF 1000000000000000000 // 极大值

using namespace std;

const int maxn = 1e4 + 5;
int n, m, k, dis[maxn][105], head[maxn], tot;
bool vis[maxn][105]; 

struct edge{
    int nxt, to, w;
}e[maxn << 1];

void addedge(int u, int v, int w) // 链式前向星建边
{
    e[++tot].nxt = head[u];
    e[tot].to = v;
    e[tot].w = w;
    head[u] = tot;
}

int Ceil(int a, int b) // 把 a 加到恰好比 b 大
{
    return a + (b - a + k - 1) / k * k;
}

void dijkstra()
{
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;
    for (int i = 1; i <= n; i++) // 初始化成极大值
        for (int j = 0; j <= 100; j++)
            dis[i][j] = INF;
    dis[1][0] = 0; // 起点达到的时间肯定是 0
    q.push(make_pair(0, 1)); 
    while (!q.empty())
    {
        int u = q.top().second, p = q.top().first;
        q.pop();
        if (vis[u][p % k] == 1)
            continue;
        vis[u][p % k] = 1;
        for (int i = head[u]; i; i = e[i].nxt)
        {
            int v = e[i].to, w = e[i].w;
            if (p >= w) // 这条边可以过
            {
                if (dis[v][(p + 1) % k] > p + 1) // 当前这个走法可以更新状态
                {
                    dis[v][(p + 1) % k] = p + 1; // 更新一下
                    q.push(make_pair(p + 1, v));
                }
            }
            else // 过不了
            {
                int ti = Ceil(p, w); // 加若干个 k 使得自己可以通过
                if (dis[v][(p + 1) % k] > ti + 1)
                {
                    dis[v][(p + 1) % k] = ti + 1; // 更新
                    q.push(make_pair(ti + 1, v));
                }
            }
        }
    }
}

signed main() 
{
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= m; i++) // 建边
    {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        addedge(u, v, w);
    }
    dijkstra();
    if (dis[n][0] == INF) // 到达不了
        cout << -1;
    else    
        cout << dis[n][0]; // 否则输出答案
    return 0;
}