大规模稀疏矩阵求逆

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大规模矩阵直接求逆是不可行的。根据矩阵特点用不用的分解，写成几个例程，每次实验之前进行尝试，根据尝试结果在算法里决定里决定用哪个。

1. 全阶矩阵A的求逆运算inv(A) 和稀疏矩阵B（阶数和A一样） 的求逆运算inv(B)是不是采取一样的方法？也就是说他们的 计算量是不是一样的？会不会因为是稀疏矩阵就采取特殊的 方法来处理求逆？

我电脑内存256M ，做4096*4096的矩阵求逆还可以，上万阶的就跑不动了 稀疏存储方式会减少不必要的计算，虽然原理还是一样，不过计算量大大减少了。 

2. 如果一个矩阵C非零元素都集中在主对角线的周围，那么对C求逆最好 应该采用什么样的方法最好呢？
一般还是用LU分解＋前后迭代的方法，如果矩阵对角占优就更好办了。 只不过还是需要稀疏存储。 稀疏矩阵的逆一般不会是稀疏矩阵，所以对高阶的稀疏矩阵求逆， 是不可行的，对1万阶的全矩阵需要的内存差不多已经达到了pc的 极限，我想最好的办法就是迭代，既然是稀疏，乘法的次数就有限，效率还是很高的。
不过求逆运算基本上就是解方程，对稀疏矩阵，特别是他那种基本上非零元素都在对角线附近的矩阵来说，LU分解不会产生很多的注入元，所以用LU分解解方程方法的方法是可行的。
如果用迭代法，好像也就是共轭梯度法了。
C的资源网络上有很多 google一下 或者到www.youkuaiyun.com，oonumerics.org上找找 或者用IMSL for C 或者用Lapack 或者用Matlab+C混合编程 有现成代码，但要你自己找了 ，也可以使用程序库



3. 30,000*30,000的稀疏矩阵求逆如何实现？

试试基于krylov子空间方法的算法吧。 如arnoldi和GMRES方法。 matlab中有函数可以直接调用。 直接help gmres就可以了。
如果效果还不好 。 就用用预处理技术。 比如不完全lu预处理方法。。等等。。 各种各样的预处理+GMRES是现在解决大规模稀疏矩阵的主力方法。。 维数再多还是用不完全LU分解预处理+CG or Gmres 我一个同学这么求过200W阶的矩阵 求逆一般是不可取的，无需多说。但稀疏矩阵的直接解法还是不少的。基本上都是对矩阵进行重新排序以期减少填充或运算量。 在matlab里面，有许多算法可以利用： colamd, colmmd, colperm, spparms, symamd, symmmd, symrcm. 根据是否对称，采用LU分解或者chol分解。 这些算法在internet上搜一下，很多都有相应的C或fortran版本。
稀疏矩阵的存储最常见的是压缩列（行）存储，最近发现一种利用hash表来存储的，其存取复杂度是O（1）,很是不错。有幸趣的可以看看下面网页咯，作者提供了源程序。
事实上Hash表存储的效率也跟Hash算法有关，弄不好的话，不见得比直接按行或者列
顺序检索快。而且规模越大，效率肯定越来越低。 http://www.informatik.hs-bremen.de/~brey/

对称正定的稀疏矩阵很好办啊，用LU分解就可以了。 如果维数实在太大，比如超过10^4量级，那就只能用 共轭梯度法之类的迭代法求解了。 好多文献中用Cholesky分解处理的，好像结果还可以。你觉得LL’分解不会破坏矩阵的稀疏性么——如果矩阵不是带状的话？ 而且数值稳定性也有问题。 对于一些注入元不是很多的矩阵这应该是个好办法。 但是对于有些矩阵，LU分解后可能就把整个矩阵充满了。~ 这是比较郁闷的事情。。


4. 带状矩阵的逆有快速算法吗？
我觉得这个说法不对，至少在Matlab里面，使用稀疏矩阵求逆对于效率的提高还是很显著的。利用稀疏特性，很多对于零元素的操作就省掉了。如果原矩阵还是对称的，可以考虑三角分解，把单位阵的列向量作为右端项，求解得到的是对应的逆阵的列向量。
但是，按照前辈的说法，“绝大部分情况下，求逆阵肯定不是必需的”，这一说法我现在还是挺赞同的。 至少， 一般我们不会在有限元求解或者普通的线性方程组求解的时候，是先对系数矩阵求逆的吧。 所以，我认为，逆阵在数学上很漂亮，对于公式推导有所帮助，但是在数值计算中是应该尽量避免直接计算它的，而且，更重要的是，在绝大部分情况下，是可以避免的。