状压DP

最新推荐文章于 2025-06-19 10:37:03 发布

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状态压缩DP：

状态压缩最重要的一个知识就如何运用位运算，有关位运算的知识：

含义	Pascal语言	C语言	Java
按位与	a and b	a & b	a & b
按位或	a or b	a \| b	a \| b
按位异或	a xor b	a ^ b	a ^ b
按位取反	not a	~a	~a
左移	a shl b	a << b	a << b
带符号右移	a shr b	a >> b	a >> b
无符号右移			a>>> b

=== 1. and运算 ===

and运算通常用于二进制取位操作，例如一个数 and 1的结果就是取二进制的最末位。这可以用来判断一个整数的奇偶，二进制的最末位为0表示该数为偶数，最末位为1表示该数为奇数。

相同位的两个数字都为1，则为1；若有一个不为1，则为0。

00101

11100

（&；或者and）

----------------

00100

=== 2. or运算 ===

or运算通常用于二进制特定位上的无条件赋值，例如一个数or 1的结果就是把二进制最末位强行变成1。如果需要把二进制最末位变成0，对这个数or 1之后再减一就可以了，其实际意义就是把这个数强行变成最接近的偶数。

相同位只要一个为1即为1。

00101

11100

（|或者or）

----------------

11101

=== 3. xor运算 ===

异或的符号是^。按位异或运算, 对等长二进制模式按位或二进制数的每一位执行逻辑按位异或操作. 操作的结果是如果某位不同则该位为1, 否则该位为0.

xor运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即（a xor b) xor b = a。xor运算可以用于简单的加密，比如我想对我MM说1314520，但怕别人知道，于是双方约定拿我的生日19880516作为密钥。1314520 xor 19880516 =20665500，我就把20665500告诉MM。MM再次计算20665500 xor 19880516的值，得到1314520，于是她就明白了我的企图。

相同位不同则为1，相同则为0。

00101

11100

（^或者xor）

----------------

11001

运算结果

x <- x # y

y <- x @ y

x <- x @ y

执行了第一句后x变成了x # y。那么第二句实质就是y <- x # y @ y，由于#和@互为逆运算，那么此时的y变成了原来的x。第三句中x实际上被赋值为（x #y) @ x，如果#运算具有交换律，那么赋值后x就变成最初的y了。这三句话的结果是，x和y的位置互换了。

加法和减法互为逆运算，并且加法满足交换律。把#换成+，把@换成-，我们可以写出一个不需要临时变量的swap过程（Pascal）。

procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a + b;

b:=a - b;

a:=a - b;

end;

好了，刚才不是说xor的逆运算是它本身吗？于是我们就有了一个看起来非常诡异的swap过程：

procedure swap(var a,b:longint);

begin

a:=a xor b;

b:=a xor b;

a:=a xor b;

end;

注意：位运算版本的交换两数不适用于一个数的自我交换。也就是说，如果上述程序的“b”改成“a”的话，其结果是变量a变成零。因此，在使用快速排序时，由于涉及到一个数的自我交换，因此如果要在其中使用位运算版的交换两数的话，应该先判断。具体的时间损耗在此略过。

=== 4. not运算 ===

not运算的定义是把内存中的0和1全部取反。使用not运算时要格外小心，你需要注意整数类型有没有符号。如果not的对象是无符号整数（不能表示负数），那么得到的值就是它与该类型上界的差，因为无符号类型的数是用00到$FFFF依次表示的。下面的两个程序（仅语言不同）均返回65435。

var

a:word;

begin

a:=100;

a:=not a;

writeln(a);

end.

#include<stdio.h>

int main()

{

unsigned short a=100;

a=~a;

printf("%d\n",a);

return 0;

}

如果not的对象是有符号的整数，情况就不一样了，稍后我们会在“整数类型的储存”小节中提到。

=== 5. shl运算 ===

a shl b就表示把a转为二进制后左移b位（在后面添b个0）。例如100的二进制为1100100，而110010000转成十进制是400，那么100 shl 2 = 400。可以看出，a shl b的值实际上就是a乘以2的b次方，因为在二进制数后添一个0就相当于该数乘以2。

通常认为a shl 1比a * 2更快，因为前者是更底层一些的操作。因此程序中乘以2的操作请尽量用左移一位来代替。

定义一些常量可能会用到shl运算。你可以方便地用1 shl 16 - 1来表示65535。很多算法和数据结构要求数据规模必须是2的幂，此时可以用shl来定义Max_N等常量。

=== 6. shr运算 ===

和shl相似，a shr b表示二进制右移b位（去掉末b位），相当于a除以2的b次方（取整）。我们也经常用shr 1来代替div 2，比如二分查找、堆的插入操作等等。想办法用shr代替除法运算可以使程序效率大大提高。最大公约数的二进制算法用除以2操作来代替慢得出奇的mod运算，效率可以提高60%。

状态压缩其实就是用一个数来表示一个集合的状态，二进制是由0和1表示的，所以一组由0和1组合而成的数可以表示一组状态。那么状态压缩就是利用二进制数的这样的性质。

下面给一道例题:

ZQUOJ 22914 Traveling by Stagecoach

以下是这道题的解题报告：

该题的题意是给出n张马车票，m个城市，要求你从a城市到b城市，求取最短的时间，从一个城市到另一个城市的时间是距离/马车数；这道题我一看以为是用深搜的，但是发现要考虑到用票的方式不同，造成的答案也就不同了，于是去了解了下这道题需要用到状态压缩的知识，于是在了解了状态压缩后才做的。这道题的思路其实就是枚举所有的票数组合，然后枚举所有的可行通路。其中要用状态压缩来表示这张票是用了还是没用。于是设一个数组dp[state][v],state就是代表票数组合，dp[state][v]表示使用state这种票数组合到达v的最短时间。只要枚举了所有的可能就可以从中得知所有的票数组合中到达end城市的最短时间。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=1<<29;
const int maxn=1<<10;
double dp[maxn][31];
int main()
{
   int map[31][31];
   int ti,ci,ri,si,ei,t[10];
   int x,y,z;
   while(scanf("%d%d%d%d%d",&ti,&ci,&ri,&si,&ei)!=EOF)
   {
       if(ti==0&&ci==0&&ri==0&&si==0&&ei==0)
            return 0;
       memset(map,0,sizeof(map));
       for(int i=0; i<ti; i++)
       {
            scanf("%d",&t[i]);
       }
       for(int i=1; i<=ri; i++)
       {
           scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            map[x][y]=map[y][x]=z;
       }
       for(int i=(1<<ti)-1; i>=0; i--)
            fill(dp[i],dp[i]+ci+1,inf);
       dp[(1<<ti)-1][si]=0;
       for(int S=(1<<ti)-1; S>=0; S--)
       {
            for(int i=1; i<=ci; i++)
            {
                for(int j=0; j<ti; j++)
                {
                    if(S&(1<<j))
                    {
                        for(int x1=1;x1<=ci; x1++)
                        {
                            if(map[i][x1])
                               dp[S^(1<<j)][x1]=min(dp[S^(1<<j)][x1],dp[S][i]+map[i][x1]*1.0/(double)t[j]);
                        }
                    }
 
                }
            }
 
       }
       double ans=inf;
       for(int i=0; i<(1<<ti)-1; i++)
       {
           //printf("%.3f\n",dp[i][ei]);
            ans=min(ans,dp[i][ei]);
       }
       if(ans==inf)
            printf("Impossible\n");
       else
            printf("%.3f\n",ans);
   }
}