HDU 6121 Build a tree

HDU 6121 Build a tree

原题连接：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6121

题目中给出的定义。就是$k$叉堆

对于$k$叉堆。

第$a$个节点的孩子编号属于区间:$[ak+1,(a+1)k]$

堆的高度从$0$开始算起

令$F[t]$为高度为$t$的满$k$叉堆对应的$answer$

$C[t]$为高度为$t$的满$k$叉堆节点总数。

则：$F[0]=1,F[t]=\big((k\ and\ 1)F[t-1]\big)xor\ C[t]\ ,\ t>1$

这是因为。深度为$t$的满$k$叉堆。根的每个孩子对应的答案是$F[t-1]$

而它有$k$个孩子。$k$个孩子相互异或。就是：$\big((k\ and\ 1)F[t-1]\big)$

根节点对应孩子数量为$C[t]$

得：$F[t]=\big((k\ and\ 1)F[t-1]\big)xor\ C[t]\ ,\ t>1$

定义：$answer=slove(L,R,n,k)$

$slove(L,R,n,k)$表示，同一层中，编号在$[L,R]$区间的节点为根的子树对答案的贡献。

$HR(a)$为$a$节点对应子树的叶子节点的最小深度。

$HL(a)$为$a$节点对应子树的叶子节点的最大深度。

如果$HL(L)=HR(R)$ :

很明显。此时所有子树都是满$k$叉树(最大深度等于最小深度)

$$slove(L,R,n,k)=F[HL(L)]\ \big( (R-L+1)\ and\ 1\big)$$

如果$H(L)\ne HR(R)$ :

$L\ne R$时： $$slove(L,R,n,k)=slove(L,\Big\lfloor\frac{R+L}{2}\Big\rfloor,n,k)\ xor\ slove(\Big\lfloor\frac{R+L}{2}\Big\rfloor+1,R,n,k)$$

$L=R$时 , 令$cnt[L]$为根节点为$L$的子树的节点数量： $$slove(L,R,n,k)=slove(l,r,n,k)\ xor\ cnt[L]$$

$$其中，[l,r]区间是L节点管辖的孩子节点所在区间。$$

当$k>1$时。使用上面的方法复杂度为$O(log^2)$

当$k=1$时。由于堆的结构的原因。会导致递归深度过深。复杂度变为$O(n)$

此时问题变形为前$n$个数字的异或和

即： $$answer=XOR_{i=1}^ni\ $$

这个问题可以通过数位$dp$解决。复杂度$O(log)$

下面是AC代码：

#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
const LL MX=1e18;
LL F[100];
LL C[100];
LL X;
LL HR(LL a,LL n,LL k)
{
    if(a+1<=n/k&&(a+1)*k<n)return HR((a+1)*k,n,k)+1;
    return 0;
}

LL HL(LL a,LL n,LL k)
{
    if(a<=(n-1)/k&&a*k+1<n)return HL(a*k+1,n,k)+1;
    X=a;
    return 0;
}

LL slove(LL L,LL R,LL n,LL k)
{
    LL hr=HR(R,n,k);
    LL hl=HL(L,n,k);
    if(L==R)
    {
        if(hr==hl)return F[hr];
        if(L+1<=n/k&&(L+1)*k<n)return (C[hr]+n-X)^slove(L*k+1,(L+1)*k,n,k);
        return (C[hr]+n-X)^slove(L*k+1,n-1,n,k);
    }
    if(hr==hl)
    {
        if((R-L+1)&1)return F[hr];
        return 0;
    }
    LL mid=(L+R)>>1;
    return slove(L,mid,n,k)^slove(mid+1,R,n,k);
}

LL clat(LL n,LL m)
{
    if(m==1)return 0;
    if(n>=m)
    {
        if(((n-m+1)&1))return m+clat(n-m,m>>1);
        return clat(n-m,m>>1);
    }
    return clat(n,m>>1);
}

int main ()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        LL n,k;
        scanf("%lld %lld",&n,&k);
        if(k==1)
        {
            printf("%lld\n",clat(n,1ll<<62)+(((n+1)/2)&1));
            continue;
        }
        F[0]=1;
        C[0]=1;
        for(LL i=1,s=MX-1,j=1; ;j++)
        {
            if(s/k<i)break;
            i*=k;
            s-=i;
            if(k&1) F[j]=F[j-1];
            F[j]^=MX-s;
            C[j]=C[j-1]+i;
        }
        printf("%lld\n",slove(0,0,n,k));
    }
    return 0;
}