【题解】codeforces765F Souvenirs

最新推荐文章于 2025-01-21 20:16:41 发布

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#codeforces #区间查询 #线段树

博客详细解析了如何利用线段树处理codeforces765F Souvenirs问题中的区间查询，通过离线处理和优化算法，将时间复杂度降低到O(lgn)。文章介绍了线段树的构造和查询方法，以及如何确定每次插入元素以最大化查询效率。

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题意：给定一个长度为n的数组与m个查询。第i个查询要求输出数组下标区间[li,ri]内的数之间的距离（差的绝对值）的最小值。

分析：离线处理查询。将查询区间按右端点从小到大排序，维护一个数据结构，使得将数组元素a1,a2,...,ai插入到数据结构之后能够快速查询以ai为右端点的查询区间的答案。考虑ai对查询区间的贡献，设d=|ai-aj|(j<i)，则对于满足l≤j,r=a[i]的查询区间[l,r]，有查询区间[l,r]的答案≤d。因此可以用线段树来维护答案，线段树每个结点记录左端点处于对应范围内时（当右端点为ai时）的查询区间的上确界。

若暴力处理ai对查询区间的贡献，则时间复杂度为O(n)，这显然是不可接受的。不妨先设a1,a2,...,ai-1均大于等于ai（一般情况下处理2次即可），则在计算完元素对(ai,ai-1)对查询区间的贡献后，设下一个选取的元素对为(ai,aj)，则aj应满足aj≤(ai+ai-1)/2。这是因为：1.aj≥ai-1时元素对(ai,aj)不优于元素对(ai,ai-1)的贡献；2.(ai+ai-1)/2≤aj≤ai-1时元素对(ai,aj)的贡献不优于元素对(ai-1,aj)的贡献。依次类推，计算ai对查询区间的贡献时间复杂度可以优化到O(lgn)。

下面讨论程序的实现。我们需要一个数据结构，使得能够快速求出数组下标在[1,j-1]范围内大小在范围[ai,(ai+aj)/2]内的下标最大的数。可以建一棵线段树，线段树的每个结点[l,r]存一个vector，vector里将al,al+1,...,ar按从小到大排序，然后就可以O(lgn^2)地完成这件事（官方题解似乎有O(lgn)的做法）。

代码：