【洛谷】 P3865 【模板】ST 表 && RMQ 问题 的题解

【洛谷】 P3865 【模板】ST 表 && RMQ 问题 的题解

题解

一个 ST 表的板子题

• 什么是ST表

ST 表是一种基于树形结构的数据结构，用于处理区间查询和更新操作。它通过预处理的方式将原始数据存储在树状结构中，以支持高效的区间查询。ST 表的构建时间复杂度为 $O(nlogn)$，其中 $n$ 为原始数据的长度。但一旦构建完成，可以在 $O(logn)$ 的时间内进行区间查询和更新操作。

• 具体思路

令 $f[i][j]$ 表示区间 $[i][i+2^j-1]$ 的最大值，所以 $f[i][j]=\max (f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])$。

所以对于每个区间 $[l][r]$ 可以分成两个部分 $[l,l+2^s-1]$和 $[r-2^s+1][r]$ 两个区间，其中 $s=lo{g}_2(r-l+1)$。

然后定义两个变量 $l$, $r$ 为查找区间的左右端点。要查区间的最值，只需分别查如图两段包含 $2^x$ 个数的区间的最值，再进行比较，就得到所查区间的最值。为此，我们必须保证，两端区间必须包含了所有所查区间的数。因此我们需要得出最大的 $x$。$2^x<2^j$ 即 $2^x<r-l+1$,得出 $x<lo{g}_2(r-l+1)$,$x$ 最大就向下取整。两端区间的端点分别是 $l$ 和 $r-(1<<x)+1$

由于最大值是可重复贡献问题，重叠并不会对区间最大值产生影响。又因为这两个区间完全覆盖，可以保证答案的正确性。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define lowbit(x) x & (-x)
#define endl "\n"
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
namespace fastIO {
	inline int read() {
		register int x = 0, f = 1;
		register char c = getchar();
		while (c < '0' || c > '9') {
			if(c == '-') f = -1;
			c = getchar();
		}
		while (c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
		return x * f;
	}
	inline void write(int x) {
		if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
		if(x > 9) write(x / 10);
		putchar(x % 10 + '0');
		return;
	}
}
using namespace fastIO;
int n, m, a[100005], v[100005][25]; 
int main() {
	//freopen(".in","r",stdin);
	//freopen(".out","w",stdout);
	n = read(), m = read();
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		a[i] = read();
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		v[i][0] = a[i];
	}
	for(int j = 1; (1 << j) <= n; j ++) {
		for(int i = 1; i + (1 << (j - 1)) <= n; i ++) {
			v[i][j] = max(v[i][j - 1], v[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
		}
	}
	while(m --) {
		int l, r;
		l = read(), r = read();
		int temp = r - l + 1;
		int L = 0;
		int ans = 0;
		while(temp) {
			if(temp & 1) {
				ans = max(ans, v[l][L]);
				l += (1 << L);
			}
			temp = temp >> 1;
			L ++;
		}
		write(ans), putchar('\n');
	}
	return 0;
}