UVA12459 Bees‘ ancestors 的题解-优快云博客

该文介绍了如何解决UVA12459问题，即输出斐波那契数列的指定项。文中提供了两种方法，一种是通过预处理斐波那契数列的前若干项，另一种是利用斐波那契数列的数学公式直接计算，避免了精度丢失的问题。

UVA12459 Bees’ ancestors 的题解

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题目大意

输入 $n$ ，输出斐波那契额数列的第 $n$ 项。读到 $0$ 停止。

思路

斐波那契数列为 $f (i) = f (i - 1) + f (i - 2)$ 所以我们预处理每一项的值，然后根据输入进行输出。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	int n;
	long long f[105] = {0, 1, 2};
	for (int i = 3; i <= 85; i ++) { // 预处理
		f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
	}
	while (cin >> n) {
		if (n == 0) {
			return 0;
		}
		cout << f[n] << endl; // 调用
	}
	return 0;
}

利用公式 $fib_n = \frac{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n}{\sqrt{5}}$
证明过程：斐波那契的递推式为 $fib_n - fib_{n - 1} -fib_{n - 2} = 0$ ,特征方程为 $ x ^ 2 - x - 1 = 0$ , 根据一元二次方程的公式，得到 $x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4 \times 1 \times -1}}{2 \times 1} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ ， $x_2 = \frac{1 - \sqrt{1 - 4 \times 1 \times -1}}{2 \times 1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 。原通项公式为 $fib_n = a \times x1 ^ n + b \times x2 ^ n$ ， $\frac{1}{\sqrt{5}}$ ， $\frac{1}{\sqrt{5}}$ ，可知 $fib_n = \frac{(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})^n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})^n}{\sqrt{5}}$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
	int n;
	while (1 == 1){
    	cin >> n;
    	if (n == 0) {
    		break;
		}
    	double ans = (pow ((1 + sqrt(5)) / 2, n + 1) + pow((1 - sqrt(5)) / 2, n + 1)) / sqrt(5); // 公式
    	cout << round(ans) << endl; // 防止精度丢失
	}
	return 0;
}