图论总结

最新推荐文章于 2024-09-14 10:41:30 发布

ZHX_SD

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分类专栏：图论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/ZHX_SD/article/details/104216202

本文是对图论的总结，重点介绍了最短路径算法Floyd、Dijkstra、Bellman-Ford和SPFA，以及最小生成树的Prim和Kruskal算法。此外，还提及了建图方法如边表和邻接矩阵，以及并查集的基本概念。

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图论总结

图论定义：图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。为了避免符号上的混淆，我们总是默认V∩B=Ø。集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。

图论外貌：

在这里插入图片描述
~~（有点丑别建议哈）~~

图论特性：没有模板不能活，老死不相往来。

建图方法：边表，邻接矩阵

边表：一般用结构体存储

struct note
{
   
   
    int y,next,v;//y节点，next下一个，v之间的权值。
}a[E+8]//E为边数

邻接矩阵：用二维数组

bool f[][];//好用极了，但耗空间。表示i与j是否相连。

图论用法：

最短路：共有四种算法：Floyd,Dijkstra,Bellman_Ford,SPFA;

Floyd:是最短四算法中最简单的，但效率不咋地。

主体思路：i点如果和j点相连且j点和k点相连，那么i点和k点相连

优点：容易敲，容易理解，可以处理负权。

缺点：效率低O(n^3),不能处理负环。

void floyd(){
   
   
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    for(int k=1;k<=n;k++)
    if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]){
   
   
        d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];//只能用邻接矩阵
        path[i][j]=k;
    }
}

Dijkstra：是最短四算法中效率最高的(Orz,这是谁想出的，辣膜流)

主体思想：使用了广度优先搜索策略，以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

优点：因为遍历是节点多，效率较高O(n^2)

缺点：不能处理负权，且代码复杂。

void dijkstra(int r){
   
   
    for(int i=1;i<=n;i++)dis[i]=a[r][i];//还是用邻接矩阵，但也可以用邻接表
    memset(vis,false,sizeof(vis));//vis用于标记
    vis[r]=true;dis[r]=0;//起点赋值
    for(int i=1;i<n;i++)//只要循环n-1次
    {
   
   
        int minn=0x3f3f3f3f;
        int k=0;