牛顿法求平方根

最新推荐文章于 2025-03-27 09:02:53 发布

原创最新推荐文章于 2025-03-27 09:02:53 发布 · 1k 阅读

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博客介绍了如何利用计算机实现牛顿法来求平方根。通过不断逼近的算法，从一个初始猜测值开始，计算猜测值与x除以猜测值的平均数，以此获得更接近实际平方根的新猜想。以求2的平方根为例，初始猜想为1，通过迭代判断新猜想是否足够接近实际值，从而得到精确的平方根。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

$\sqrt x$ 平方根定义为：有一个 $y$ ，使得 $y\ge0$ 而且 $y^2=x$ 。这是一个数学函数，并没有描述一个计算过程来得到 $x$ 的平方根。即使将这个定义用 $Lisp$ 的形式重写一遍也无济于事：

(define （sqrt x)
    (the y (and (>= y 0)
                (= (square y) x)
            )
    )
)

最常用的为牛顿的逐步逼近法：如果对 $x$ 的平方根的值有一个猜想 $y$ ，那么就可以通过执行一个简单的操作区得到一个更好的猜想，只需要求出 $y$ 与 $x/y$ 的平均值，例如求2的平方根，假定猜想值为1：

(define (sqrt-iter guess x)
    (if (good-enough? guess x)
        guess
        (sqrt-iter (improve guess x) x)
    )
)

首先定义求平方根函数 $sqrt-iter$ ，接受两个参数 $guess$ 、 $x$ ，接下来判断 $guess$ 是否符合要求，符合的话结果为 $guess$ ，不符合的话就调用本身，用下一个猜想数来替换 $guess$ 。
- $improve$ ：

(define (improve guess x)
        (average guess (/ x guess))
)

其中：

(define (average x y)
        (/ (+ x y) 2)
)

剩下的就是 $good-enough?$ 了，一种方法是检测 $guess$ 的平方与的差小于某个确定值。

(define (good-enough guess x)
        (< (abs (- (square guess) x)) 0.001)
)

最后在写一个启动入口，用1.0作为任何数值的初始猜想值：

(define (sqrt x)
        (sqrt-iter 1.0 x))